Escolher um item. Resolva a equaglo diferencial:
y'-cos x y=x e^x^2+sen x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y' - (cos x),y = x,e^x^2 + sen x
Aqui temos a forma geral
y' + p(x),y = q(x),
com p(x) = -cos x e q(x) = x,e^x^2 + sen x. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(x) = exp!l(integral p(x),dxr) = exp!l(integral -cos x,dxr) = exp(-sen x)

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x):
e^-sen xy' ;-;cos x,e^-sen xy = x,e^x^2+sen x,e^-sen x = x,e^x^2
O lado esquerdo é exatamente
ddxl(y,e^-sen xr)

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
ddxl(y,e^-sen xr) = x,e^x^2 Longrightarrow y,e^-sen x = integral x,e^x^2,dx = tfrac12,e^x^2 + C

Passo 5

Isolando y obtemos a solução geral:
y = l(tfrac12,e^x^2 + Cr),e^sen x = tfrac12,e^,x^2 + sen x + C,e^sen x

Resposta

y(x) = tfrac12,e^,x^2 + sen x + C,e^sen x

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