Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial, determine o intervalo onde a solução está definida.
y(x)=-1x^2 ; x^2 d y+2 x y d x=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função y(x)=-1x^2 satisfaz a equação diferencial x^2,dy+2xy,dx=0 e determinar o intervalo de definição da solução.

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
dydx = ddxl(-x^-2r) = 2x^-3 = 2x^3

Passo 3

Substituímos dydx e y na forma diferencial da equação dividida por dx:
x^2dydx + 2xy = x^2cdot2x^3 + 2xcdotl(-1x^2r) = 2x - 2x = 0
Assim, a igualdade é satisfeita identicamente para xneq 0.

Passo 4

Concluímos que y(x)=-1x^2 é solução da equação diferencial sempre que xneq 0, pois é necessário evitar divisão por zero.

Passo 5

O intervalo de definição de y exclui x=0, de modo que a solução está definida em qualquer intervalo contínuo que não contenha zero, tipicamente (- infty,0) ou (0,infty).

Resposta

A função y(x)=-1x^2 de fato satisfaz a equação diferencial e está definida nos intervalos (- infty,0) e (0,infty).

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