Escolher/Resolver uma das questões
integral1^infty 1(2 x+1)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral1^infty 1(2x+1)^3,dx
O conteúdo envolvido é integral de função racional sobre um intervalo infinito, e vamos precisar usar a definição de integral imprópria por limite e uma substituição para encontrar a primitiva.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite de uma integral própria:
integral1^infty 1(2x+1)^3,dx = limbtoinftyintegral1^b 1(2x+1)^3,dx

Passo 3

Fazemos a substituição
u = 2x + 1 Longrightarrow du = 2,dx Longrightarrow dx = du2
Quando x=1 temos u=3 e quando x=b temos u=2b+1. Logo
integral1^b 1(2x+1)^3,dx = integral3^2b+1 1u^3cdotdu2 = 12integral3^2b+1 u^-3,du

Passo 4

Calculamos a primitiva de u^-3:
integral u^-3,du = u^-2-2 = -12u^2
Portanto
12integral3^2b+1 u^-3,du = 12l[-12u^2r]3^2b+1 = -14l[1(2b+1)^2 - 13^2r]

Passo 5

Agora tomamos o limite btoinfty:
limbtoinfty -14l[1(2b+1)^2 - 19r] = -14l[0 - 19r] = 136
Logo a integral converge e vale tfrac136.

Resposta

136

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