Uma onda estacionária em uma corda é descrita por y(x, t)=(0,040) \operatorname{sen}(5 \pi x) \cos (40 \pi t), onde x e y estão em metros e t em segundos. Para x \geq 0, qual é a localização do nó com (a) menor, (b) segundo menor e (c) o terceiro menor valor de x ? (d) Qual é o período do movimento oscilatório de qualquer ponto (que não seja um nó)? Quais são (e) a velocidade e(f) as amplitudes das duas ondas progressivas que interferem para produzir esta onda? Para t \geq 0, quais são (g) o primeiro, (h) o segundo e (i) o terceiro instante em que todos os pontos da corda possuem velocidade transversal nula?

Passo 1

O enunciado dá a onda estacionária
y(x,t) = (0,040)\,\sin(5\pi x)\cos(40\pi t),
com x e y em metros e t em segundos. As perguntas são:
(a) localização do nó com menor valor de x para x\ge 0;
(b) localização do segundo menor nó;
(c) localização do terceiro menor nó;
(d) período do movimento oscilatório de qualquer ponto (que não seja nó);
(e) velocidade das ondas progressivas que formam esta onda estacionária;
(f) amplitudes das duas ondas progressivas;
(g) primeiro, (h) segundo e (i) terceiro instantes (para t\ge 0) em que todos os pontos da corda têm velocidade transversal nula.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • Amplitude espacial/temporal combinada: 0,040 (metros) na frente de \sin(5\pi x)\cos(40\pi t).
  • Número de onda: k=5\pi.
  • Frequência angular: \omega=40\pi.

Passo 2

Ensinando o que é nó e como achá-lo: um nó é uma posição x onde a deflexão y(x,t) é zero para todo t. Assim, para encontrar nós precisamos achar os x que fazem a parte espacial zero:
\sin(5\pi x)=0.
A solução da equação \sin(\theta)=0 é \theta = n\pi com n\in\mathbb{Z}. Aplicando aqui:
5\pi x = n\pi \quad\Rightarrow\quad x=\frac{n}{5},
com n inteiro. Esses são todos os nós ao longo da corda.

Passo 3

Agora listamos os nós com x\ge 0 em ordem crescente de x. Para n=0,1,2,\dots temos:
x_n=\frac{n}{5}.
Assim:
  • menor (n=0): x_0=\dfrac{0}{5}=0\\ \mathrm{m};
  • segundo menor (n=1): x_1=\dfrac{1}{5}=0,200\\ \mathrm{m};
  • terceiro menor (n=2): x_2=\dfrac{2}{5}=0,400\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Período do movimento: a parte temporal é \cos(40\pi t). Relembre que a forma geral é \cos(\omega t) com período T=2\pi/\omega. Aqui \omega=40\pi, logo
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{40\pi}=\frac{1}{20}=0,05\\ \mathrm{s}.
Comentário prático: isso significa que qualquer ponto (exceto nó) completa uma oscilação a cada 0,05 s.

Passo 5

Vou derivar a velocidade de propagação e as amplitudes das ondas progressivas que geram esta onda estacionária. Conceito-chave: uma onda estacionária pode ser escrita como soma de duas ondas progressivas idênticas viajando em sentidos opostos. Use a identidade trigonométrica
\sin\alpha\cos\beta = \tfrac{1}{2}\big(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\big).
Aplicando com \alpha = 5\pi x e \beta = 40\pi t:
\sin(5\pi x)\cos(40\pi t)=\tfrac{1}{2}\big(\sin(5\pi x+40\pi t)+\sin(5\pi x-40\pi t)\big).
Multiplicando por 0,040 obtemos
y(x,t)=0,020\,\sin(5\pi x-40\pi t)+0,020\,\sin(5\pi x+40\pi t).
Portanto as duas ondas progressivas são
y_1(x,t)=0,020\,\sin(5\pi x-40\pi t),\qquad y_2(x,t)=0,020\,\sin(5\pi x+40\pi t),
cada uma com amplitude 0,020\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Agora calculamos a velocidade de propagação v. Para uma onda progressiva da forma \sin(kx\pm\omega t), a relação entre velocidade, frequência angular e número de onda é
v=\frac{\omega}{k}.
Aqui k=5\pi e \omega=40\pi, logo
v=\frac{40\pi}{5\pi}=8\\ \mathrm{m/s}.
Alternativamente pode-se achar a frequência f=\omega/(2\pi)=20\\ \mathrm{Hz} e o comprimento de onda \lambda=2\pi/k=2\pi/(5\pi)=\tfrac{2}{5}=0,400\\ \mathrm{m}, e então v=f\lambda=20\cdot0,400=8\\ \mathrm{m/s}. Ambas as maneiras dão o mesmo resultado.

Passo 7

Encontrar os instantes em que todos os pontos têm velocidade transversal nula. Primeiro escrevemos a velocidade transversal (derivada parcial em relação a t):
v_y(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}=(0,040)\sin(5\pi x)\frac{\partial}{\partial t}\cos(40\pi t).
Como \dfrac{d}{dt}\cos(40\pi t)=-40\pi\sin(40\pi t), obtemos
v_y(x,t) = -(0,040)(40\pi)\sin(5\pi x)\sin(40\pi t).
Para que todos os pontos tenham v_y=0 simultaneamente (para todo x), precisamos que o fator dependente de t seja zero, porque \sin(5\pi x) depende de x e nem todos os pontos têm \sin(5\pi x)=0. Assim exigimos
\sin(40\pi t)=0.
Solução: 40\pi t = m\pi com m\in\mathbb{Z}, isto é
t=\frac{m}{40},\quad m=0,1,2,\dots

Passo 8

Listamos os primeiros três instantes com t\ge 0:
  • primeiro (m=0): t_0=\dfrac{0}{40}=0\\ \mathrm{s};
  • segundo (m=1): t_1=\dfrac{1}{40}=0,025\\ \mathrm{s};
  • terceiro (m=2): t_2=\dfrac{2}{40}=0,050\\ \mathrm{s}.
Observação: t_2=0,050\\ \mathrm{s} coincide com o período T calculado no Passo 4, como esperado (após um período a situação se repete).

Resposta

(a) x=0\\ \mathrm{m}
(b) x=\dfrac{1}{5}\\ \mathrm{m}=0,200\\ \mathrm{m}
(c) x=\dfrac{2}{5}\\ \mathrm{m}=0,400\\ \mathrm{m}
(d) T=0,05\\ \mathrm{s}
(e) v=8\\ \mathrm{m/s}
(f) amplitude de cada onda progressiva A=0,020\\ \mathrm{m} (ondas: y_1=0,020\sin(5\pi x-40\pi t) e y_2=0,020\sin(5\pi x+40\pi t))
(g) t=0\\ \mathrm{s}
(h) t=0,025\\ \mathrm{s}
(i) t=0,050\\ \mathrm{s}

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