Uma onda estacionária em uma corda é descrita por
, onde
e
estão em metros e
em segundos. Para
, qual é a localização do nó com (a) menor, (b) segundo menor e (c) o terceiro menor valor de
? (d) Qual é o período do movimento oscilatório de qualquer ponto (que não seja um nó)? Quais são (e) a velocidade
as amplitudes das duas ondas progressivas que interferem para produzir esta onda? Para
, quais são (g) o primeiro, (h) o segundo e (i) o terceiro instante em que todos os pontos da corda possuem velocidade transversal nula?
Passo 1
O enunciado dá a onda estacionária
com
e
em metros e
em segundos. As perguntas são:
(a) localização do nó com menor valor de para
;
(b) localização do segundo menor nó;
(c) localização do terceiro menor nó;
(d) período do movimento oscilatório de qualquer ponto (que não seja nó);
(e) velocidade das ondas progressivas que formam esta onda estacionária;
(f) amplitudes das duas ondas progressivas;
(g) primeiro, (h) segundo e (i) terceiro instantes (para ) em que todos os pontos da corda têm velocidade transversal nula.
(a) localização do nó com menor valor de
(b) localização do segundo menor nó;
(c) localização do terceiro menor nó;
(d) período do movimento oscilatório de qualquer ponto (que não seja nó);
(e) velocidade das ondas progressivas que formam esta onda estacionária;
(f) amplitudes das duas ondas progressivas;
(g) primeiro, (h) segundo e (i) terceiro instantes (para
Informações úteis extraídas do enunciado:
- Amplitude espacial/temporal combinada:
(metros) na frente de . - Número de onda:
. - Frequência angular:
.
Passo 2
Ensinando o que é nó e como achá-lo: um nó é uma posição
onde a deflexão
é zero para todo
. Assim, para encontrar nós precisamos achar os
que fazem a parte espacial zero:
A solução da equação
é
com
. Aplicando aqui:
com
inteiro. Esses são todos os nós ao longo da corda.
Passo 3
Agora listamos os nós com
em ordem crescente de
. Para
temos:
Assim:
- menor (n=0):
; - segundo menor (n=1):
; - terceiro menor (n=2):
.
Passo 4
Período do movimento: a parte temporal é
. Relembre que a forma geral é
com período
. Aqui
, logo
Comentário prático: isso significa que qualquer ponto (exceto nó) completa uma oscilação a cada
s.
Passo 5
Vou derivar a velocidade de propagação e as amplitudes das ondas progressivas que geram esta onda estacionária. Conceito-chave: uma onda estacionária pode ser escrita como soma de duas ondas progressivas idênticas viajando em sentidos opostos. Use a identidade trigonométrica
Aplicando com
e
:
Multiplicando por
obtemos
Portanto as duas ondas progressivas são
cada uma com amplitude
.
Passo 6
Agora calculamos a velocidade de propagação
. Para uma onda progressiva da forma
, a relação entre velocidade, frequência angular e número de onda é
Aqui
e
, logo
Alternativamente pode-se achar a frequência
e o comprimento de onda
, e então
. Ambas as maneiras dão o mesmo resultado.
Passo 7
Encontrar os instantes em que todos os pontos têm velocidade transversal nula. Primeiro escrevemos a velocidade transversal (derivada parcial em relação a
):
Como
, obtemos
Para que todos os pontos tenham
simultaneamente (para todo
), precisamos que o fator dependente de
seja zero, porque
depende de
e nem todos os pontos têm
. Assim exigimos
Solução:
com
, isto é
Passo 8
Listamos os primeiros três instantes com
:
- primeiro (m=0):
; - segundo (m=1):
; - terceiro (m=2):
.
Observação:
coincide com o período
calculado no Passo 4, como esperado (após um período a situação se repete).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) amplitude de cada onda progressiva (ondas:
e
)
(g)
(h)
(i)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) amplitude de cada onda progressiva
(g)
(h)
(i)