Escreva a base canônica dos seguintes espaços vetoriais:
M_{3,3}

Passo 1

O enunciado pede: escrever a base canônica do espaço vetorial M_{3,3}.
Informações dadas (explicitadas):
  • M_{3,3} é o conjunto de todas as matrizes 3\times3 (vou assumir sobre os reais, isto é, matrizes com entradas em \mathbb{R}).
  • A tarefa é fornecer a base canônica desse espaço.

Passo 2

O que é uma base canônica, de forma bem prática?
  • Uma base é um conjunto de vetores que gera todo o espaço (ou seja, qualquer elemento do espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores) e é linearmente independente (nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação linear dos outros).
  • A base chamada “canônica” para espaços de matrizes costuma ser o conjunto de matrizes que têm exatamente um elemento igual a 1 e todos os outros elementos iguais a 0. Essas matrizes funcionam como “vetores unitários” na posição correspondente.

Passo 3

Definição padrão dos vetores da base canônica para M_{3,3}.
  • Para i e j variando em \{1,2,3\}, denote por E_{ij} a matriz 3\times3 que tem entrada 1 na linha i e coluna j e tem entradas 0 em todas as outras posições.
  • Em notação de entradas: (E_{ij})_{kl} = 1 se k=i e l=j, e (E_{ij})_{kl} = 0 caso contrário.

Passo 4

Mostrando que os E_{ij} geram M_{3,3} (ou seja, geram todo o espaço).
  • Seja A uma matriz arbitrária de M_{3,3}. Escreva A em função de suas entradas como
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}.
  • Então podemos expressar A como soma dos elementos da base multiplicados pelos coeficientes apropriados:
A=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} a_{ij}\,E_{ij}.
  • Verificação rápida: a entrada (p,q) do lado direito vale \sum_{i,j} a_{ij} (E_{ij})_{pq}, que é exatamente a_{pq}, pois só o termo com i=p e j=q contribui. Logo, todo A é combinação linear dos E_{ij}.]

Passo 5

Mostrando que os E_{ij} são linearmente independentes.
  • Suponha que exista uma combinação linear que dê a matriz nula:
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} c_{ij}\,E_{ij}=0,
onde 0 é a matriz 3\times3 com todas as entradas zero.
  • Olhe a entrada (p,q) dessa igualdade: o lado esquerdo tem valor c_{pq} (porque só E_{pq} tem um 1 nessa posição), enquanto o lado direito tem 0. Logo c_{pq}=0 para todo p,q.
  • Assim todos os coeficientes c_{ij} são zero, o que prova a independência linear.

Passo 6

Conclusão sobre base e dimensão.
  • Como os E_{ij} (com i,j\in\{1,2,3\}) geram M_{3,3} e são linearmente independentes, eles formam uma base.
  • Existem 3\cdot 3=9 matrizes E_{ij}, portanto \dim(M_{3,3})=9.

Passo 7

Exemplo prático de uso (para animar): escrevendo uma matriz qualquer como combinação.
  • Seja
B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 4 & 5 & 6\\[4pt] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}.
  • Aplicando a fórmula do Passo 4:
B=1\cdot E_{11}+2\cdot E_{12}+3\cdot E_{13}+4\cdot E_{21}+5\cdot E_{22}+6\cdot E_{23}+7\cdot E_{31}+8\cdot E_{32}+9\cdot E_{33}.]

Resposta

E_{11}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
E_{12}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
E_{13}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
E_{21}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
E_{22}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
E_{23}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
E_{31}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
E_{32}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
E_{33}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

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