Escreva a base canônica dos seguintes espaços vetoriais:
M_{3,3}
Passo 1
O enunciado pede: escrever a base canônica do espaço vetorial M_{3,3}.
Informações dadas (explicitadas):
M_{3,3} é o conjunto de todas as matrizes 3\times3 (vou assumir sobre os reais, isto é, matrizes com entradas em \mathbb{R}).
A tarefa é fornecer a base canônica desse espaço.
Passo 2
O que é uma base canônica, de forma bem prática?
Uma base é um conjunto de vetores que gera todo o espaço (ou seja, qualquer elemento do espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores) e é linearmente independente (nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação linear dos outros).
A base chamada “canônica” para espaços de matrizes costuma ser o conjunto de matrizes que têm exatamente um elemento igual a 1 e todos os outros elementos iguais a 0. Essas matrizes funcionam como “vetores unitários” na posição correspondente.
Passo 3
Definição padrão dos vetores da base canônica para M_{3,3}.
Para i e j variando em \{1,2,3\}, denote por E_{ij} a matriz 3\times3 que tem entrada 1 na linha i e coluna j e tem entradas 0 em todas as outras posições.
Em notação de entradas: (E_{ij})_{kl} = 1 se k=i e l=j, e (E_{ij})_{kl} = 0 caso contrário.
Passo 4
Mostrando que os E_{ij} geram M_{3,3} (ou seja, geram todo o espaço).
Seja A uma matriz arbitrária de M_{3,3}. Escreva A em função de suas entradas como
Então podemos expressar A como soma dos elementos da base multiplicados pelos coeficientes apropriados:
A=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} a_{ij}\,E_{ij}.
Verificação rápida: a entrada (p,q) do lado direito vale \sum_{i,j} a_{ij} (E_{ij})_{pq}, que é exatamente a_{pq}, pois só o termo com i=p e j=q contribui. Logo, todo A é combinação linear dos E_{ij}.]
Passo 5
Mostrando que os E_{ij} são linearmente independentes.
Suponha que exista uma combinação linear que dê a matriz nula:
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} c_{ij}\,E_{ij}=0,
onde 0 é a matriz 3\times3 com todas as entradas zero.
Olhe a entrada (p,q) dessa igualdade: o lado esquerdo tem valor c_{pq} (porque só E_{pq} tem um 1 nessa posição), enquanto o lado direito tem 0. Logo c_{pq}=0 para todo p,q.
Assim todos os coeficientes c_{ij} são zero, o que prova a independência linear.
Passo 6
Conclusão sobre base e dimensão.
Como os E_{ij} (com i,j\in\{1,2,3\}) geram M_{3,3} e são linearmente independentes, eles formam uma base.