Escreva a base canônica dos seguintes espaços vetoriais:
\mathbb{R}^{6}

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial \mathbb{R}^{6} e pede para escrever a base canônica desse espaço.
Informações fornecidas:
  • O espaço vetorial é \mathbb{R}^{6} (vetores com 6 componentes reais).
O que é pedido:
  • Escrever a base canônica de \mathbb{R}^{6}, ou seja, listar os vetores canônicos que formam essa base.

Passo 2

O que significa “base” (explicação passo a passo e bem didática):
  • Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz duas propriedades importantes:
    1. Geram o espaço (span): qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base.
    2. São linearmente independentes: nenhuma combinação linear não trivial desses vetores resulta no vetor zero.
Explicando cada conceito com calma:
  • “Combinação linear” quer dizer somar os vetores multiplicados por escalares. Por exemplo, uma combinação linear de u e v é a u + b v, onde a e b são números reais.
  • “Gerar o espaço” significa que dado qualquer vetor w\in\mathbb{R}^6, existem escalares tais que w é essa combinação linear dos vetores da base.
  • “Independência linear” significa que se uma combinação linear dos vetores da base é o vetor zero, então todos os escalares nessa combinação têm de ser zero.

Passo 3

Apresentando o conjunto candidato (a base canônica):
Os vetores canônicos em \mathbb{R}^{6} são os vetores que têm um único componente igual a 1 e os demais componentes iguais a 0. Denotamos esses vetores por e_1,e_2,\dots,e_6. Explicitamente:
e_1=(1,0,0,0,0,0)
e_2=(0,1,0,0,0,0)
e_3=(0,0,1,0,0,0)
e_4=(0,0,0,1,0,0)
e_5=(0,0,0,0,1,0)
e_6=(0,0,0,0,0,1)

Passo 4

Mostrando que esses vetores geram \mathbb{R}^{6} (ou seja, qualquer vetor é combinação linear deles):
  • Tome um vetor arbitrário v\in\mathbb{R}^{6}. Escrevemos v pelas suas componentes: v=(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6).
  • Considere a combinação linear v_1 e_1 + v_2 e_2 + v_3 e_3 + v_4 e_4 + v_5 e_5 + v_6 e_6.Calculando componente a componente, obtemos exatamente (v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6), ou seja, v = v_1 e_1 + v_2 e_2 + v_3 e_3 + v_4 e_4 + v_5 e_5 + v_6 e_6.
  • Conclusão: os e_i geram \mathbb{R}^6.
Dica prática para prova: sempre que vir esses vetores com um único 1 em posição distinta, pense “eles permitem montar qualquer vetor pegando cada componente como coeficiente”.

Passo 5

Mostrando que os vetores são linearmente independentes:
  • Suponha que exista uma combinação linear que dê o vetor zero: a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3 + a_4 e_4 + a_5 e_5 + a_6 e_6 = (0,0,0,0,0,0).
  • Escrevendo componente a componente, a soma na primeira componente é a_1, na segunda é a_2, e assim por diante. Para que todas as componentes sejam zero, devemos ter a_1=0,\\ a_2=0,\\ a_3=0,\\ a_4=0,\\ a_5=0,\\ a_6=0.
  • Portanto a única combinação linear que dá o zero é a combinação trivial (todos os a_i nulos). Logo os e_i são linearmente independentes.

Passo 6

Conclusão final e observações amistosas:
  • Como os vetores e_1,\dots,e_6 geram \mathbb{R}^6 e são linearmente independentes, eles formam uma base de \mathbb{R}^6.
  • Essa base é chamada de base canônica ou base padrão.
  • Você pode anotar a base como \{e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6\} ou listando cada vetor componente a componente.
Força aí — decore a ideia: “um 1 em uma posição, zeros nas outras” e você acerta essa base sempre.

Resposta

\,e_1=(1,0,0,0,0,0)\n
\,e_2=(0,1,0,0,0,0)\n
\,e_3=(0,0,1,0,0,0)\n
\,e_4=(0,0,0,1,0,0)\n
\,e_5=(0,0,0,0,1,0)\n
\,e_6=(0,0,0,0,0,1)

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