Escreva a base canônica dos seguintes espaços vetoriais:
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e pede para escrever a base canônica desse espaço.
Informações fornecidas:
- O espaço vetorial é
(vetores com 6 componentes reais).
O que é pedido:
- Escrever a base canônica de
, ou seja, listar os vetores canônicos que formam essa base.
Passo 2
O que significa “base” (explicação passo a passo e bem didática):
- Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz duas propriedades importantes:
- Geram o espaço (span): qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base.
- São linearmente independentes: nenhuma combinação linear não trivial desses vetores resulta no vetor zero.
Explicando cada conceito com calma:
- “Combinação linear” quer dizer somar os vetores multiplicados por escalares. Por exemplo, uma combinação linear de
e é , onde e são números reais. - “Gerar o espaço” significa que dado qualquer vetor
, existem escalares tais que é essa combinação linear dos vetores da base. - “Independência linear” significa que se uma combinação linear dos vetores da base é o vetor zero, então todos os escalares nessa combinação têm de ser zero.
Passo 3
Apresentando o conjunto candidato (a base canônica):
Os vetores canônicos em são os vetores que têm um único componente igual a
e os demais componentes iguais a
. Denotamos esses vetores por
. Explicitamente:
Os vetores canônicos em
Passo 4
Mostrando que esses vetores geram
(ou seja, qualquer vetor é combinação linear deles):
- Tome um vetor arbitrário
. Escrevemos pelas suas componentes: - Considere a combinação linear
Calculando componente a componente, obtemos exatamente , ou seja, - Conclusão: os
geram .
Dica prática para prova: sempre que vir esses vetores com um único 1 em posição distinta, pense “eles permitem montar qualquer vetor pegando cada componente como coeficiente”.
Passo 5
Mostrando que os vetores são linearmente independentes:
- Suponha que exista uma combinação linear que dê o vetor zero:
- Escrevendo componente a componente, a soma na primeira componente é
, na segunda é , e assim por diante. Para que todas as componentes sejam zero, devemos ter - Portanto a única combinação linear que dá o zero é a combinação trivial (todos os
nulos). Logo os são linearmente independentes.
Passo 6
Conclusão final e observações amistosas:
- Como os vetores
geram e são linearmente independentes, eles formam uma base de . - Essa base é chamada de base canônica ou base padrão.
- Você pode anotar a base como
ou listando cada vetor componente a componente.
Força aí — decore a ideia: “um 1 em uma posição, zeros nas outras” e você acerta essa base sempre.