Explique por que
não é uma base de
:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o conjunto
. - Pede-se explicar por que
não é uma base de .
Passo 2
Definição de base (passo-a-passo, explicando cada palavra):
- Um conjunto de vetores é uma base de
se duas coisas acontecem ao mesmo tempo: - Os vetores são linearmente independentes.
- Os vetores geram (ou geram por combinação linear) todo
— isto é, o span dos vetores é .
- “Linearmente independentes” significa: a única combinação linear que dá o vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Formalmente, vetores
são independentes se Se existir uma combinação com algum coeficiente diferente de zero que dê o vetor nulo, os vetores são linearmente dependentes. - "Gerar
" significa: qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto.
Passo 3
Observação importante sobre o vetor zero:
- O vetor
é especial: para qualquer conjunto que contenha já existe uma combinação linear não-trivial que dá o vetor nulo. Por exemplo, se o conjunto contém um vetor e o vetor , então Nesta combinação o coeficiente não é zero, logo a combinação é não-trivial. Isso mostra imediatamente que qualquer conjunto que contenha é linearmente dependente.
Passo 4
Aplicando isso ao conjunto
:
- O conjunto
contém . Tomando os coeficientes e para os vetores e respectivamente, obtemos Como nem todos os coeficientes são zero, essa é uma combinação linear não-trivial que produz o vetor nulo. Portanto é linearmente dependente. - Conclusão parcial: por causa da dependência linear,
não pode ser uma base (pois uma base exige independência linear).
Passo 5
Mostrando também que
não gera
(argumento complementar, bem didático):
- Uma combinação linear genérica dos vetores de
é Ou seja, o segundo vetor não altera nada: o span de é igual ao span do único vetor não-nulo . - O span de
é a reta que passa pela origem com direção : todos os vetores da forma . Essa é uma subvariedade unidimensional (uma linha) em , não todo o plano.
Passo 6
Exemplo numérico simples para ver que nem todo vetor é gerável:
- Se fosse possível gerar
por combinação de vetores de , existiria tais que Como , isso reduz a o que dá as duas equações Essas duas equações são incompatíveis (não existe que satisfaça as duas). Logo não pertence ao span de . Portanto o span de não é .
Passo 7
Síntese final e interpretação para a prova (resumo didático que dá pra decorar):
- Regra prática útil para provas: um conjunto que contém o vetor nulo nunca é uma base (porque é linearmente dependente).
- Além disso, um conjunto com apenas um vetor não-nulo não pode gerar
(gera no máximo uma reta). Para ser base de precisa-se de exatamente dois vetores que sejam linearmente independentes entre si.
Resposta
S não é base de
porque contém o vetor
, logo é linearmente dependente (ex.:
) e, além disso, seu span é a reta gerada por
, não todo
.