Explique por que S não é uma base de \mathbb{R}^{2} :
S=\{(-4,5),(0,0)\}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o conjunto S=\{(-4,5),(0,0)\}.
  • Pede-se explicar por que S não é uma base de \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Definição de base (passo-a-passo, explicando cada palavra):
  • Um conjunto de vetores é uma base de \mathbb{R}^{2} se duas coisas acontecem ao mesmo tempo:
    1. Os vetores são linearmente independentes.
    2. Os vetores geram (ou geram por combinação linear) todo \mathbb{R}^{2} — isto é, o span dos vetores é \mathbb{R}^{2}.
  • “Linearmente independentes” significa: a única combinação linear que dá o vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Formalmente, vetores v_1,\dots,v_k são independentes se a_1 v_1 + \cdots + a_k v_k = (0,0)\quad\Rightarrow\quad a_1=\cdots=a_k=0.Se existir uma combinação com algum coeficiente diferente de zero que dê o vetor nulo, os vetores são linearmente dependentes.
  • "Gerar \mathbb{R}^2" significa: qualquer vetor (x,y)\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto.

Passo 3

Observação importante sobre o vetor zero:
  • O vetor (0,0) é especial: para qualquer conjunto que contenha (0,0) já existe uma combinação linear não-trivial que dá o vetor nulo. Por exemplo, se o conjunto contém um vetor v e o vetor (0,0), então 1\cdot(0,0) + 0\cdot v = (0,0).Nesta combinação o coeficiente 1 não é zero, logo a combinação é não-trivial. Isso mostra imediatamente que qualquer conjunto que contenha (0,0) é linearmente dependente.

Passo 4

Aplicando isso ao conjunto S:
  • O conjunto S contém (0,0). Tomando os coeficientes a=1 e b=0 para os vetores (0,0) e (-4,5) respectivamente, obtemos 1\cdot(0,0) + 0\cdot(-4,5) = (0,0).Como nem todos os coeficientes são zero, essa é uma combinação linear não-trivial que produz o vetor nulo. Portanto S é linearmente dependente.
  • Conclusão parcial: por causa da dependência linear, S não pode ser uma base (pois uma base exige independência linear).

Passo 5

Mostrando também que S não gera \mathbb{R}^{2} (argumento complementar, bem didático):
  • Uma combinação linear genérica dos vetores de S é a\cdot(-4,5) + b\cdot(0,0) = a\cdot(-4,5).Ou seja, o segundo vetor (0,0) não altera nada: o span de S é igual ao span do único vetor não-nulo (-4,5).
  • O span de \{(-4,5)\} é a reta que passa pela origem com direção (-4,5): todos os vetores da forma a(-4,5). Essa é uma subvariedade unidimensional (uma linha) em \mathbb{R}^2, não todo o plano.

Passo 6

Exemplo numérico simples para ver que nem todo vetor é gerável:
  • Se fosse possível gerar (1,0) por combinação de vetores de S, existiria a,b tais que a(-4,5)+b(0,0)=(1,0).Como b(0,0)=(0,0), isso reduz a a(-4,5)=(1,0),o que dá as duas equações -4a=1,\qquad 5a=0.Essas duas equações são incompatíveis (não existe a que satisfaça as duas). Logo (1,0) não pertence ao span de S. Portanto o span de S não é \mathbb{R}^2.

Passo 7

Síntese final e interpretação para a prova (resumo didático que dá pra decorar):
  • Regra prática útil para provas: um conjunto que contém o vetor nulo nunca é uma base (porque é linearmente dependente).
  • Além disso, um conjunto com apenas um vetor não-nulo não pode gerar \mathbb{R}^2 (gera no máximo uma reta). Para ser base de \mathbb{R}^2 precisa-se de exatamente dois vetores que sejam linearmente independentes entre si.

Resposta

S não é base de \mathbb{R}^{2} porque contém o vetor (0,0), logo é linearmente dependente (ex.: 1\cdot(0,0)+0\cdot(-4,5)=(0,0)) e, além disso, seu span é a reta gerada por (-4,5), não todo \mathbb{R}^{2}.

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