Escreva a base canônica dos seguintes espaços vetoriais:
P_{4}

Passo 1

O enunciado pede: escrever a base canônica do espaço vetorial P_{4}. As informações implícitas que vamos usar:
  • P_{4} é o espaço dos polinômios com coeficientes em \mathbb{R} (assumiremos \mathbb{R}) de grau menor ou igual a 4.
  • O que se quer é a base canônica (também chamada base padrão), ou seja, um conjunto de polinômios que gera todo P_{4} e cujos vetores são “os mais simples” possíveis.

Passo 2

O que é exatamente P_{4}? Vou explicar bem mastigado. Um elemento genérico de P_{4} é um polinômio da forma
p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4,
onde a_0,a_1,a_2,a_3,a_4\in\mathbb{R}. Ou seja, cada polinômio em P_{4} é determinado por 5 coeficientes reais.

Passo 3

O que é uma base canônica? Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz dois requisitos:
  1. Geram o espaço (qualquer vetor do espaço é combinação linear deles).
  2. São linearmente independentes (nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros).
A base canônica em espaços de polinômios costuma ser formada pelos polinômios que têm um único termo não nulo: 1,x,x^2,\dots. Vou propor esse conjunto e mostrar que funciona.

Passo 4

Proposta da base canônica para P_{4}:
\mathcal{B}=\{\,1,\;x,\;x^2,\;x^3,\;x^4\,\}.
Agora vamos provar que \mathcal{B} gera P_{4} e é linearmente independente.

Passo 5

Prova de que \mathcal{B} gera P_{4} (spanning).
Tomemos um polinômio arbitrário p(x)\in P_{4}. Já escrevemos que
p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4
para certos a_0,\dots,a_4\in\mathbb{R}. Isso é exatamente a combinação linear
p(x)=a_0\cdot 1 + a_1\cdot x + a_2\cdot x^2 + a_3\cdot x^3 + a_4\cdot x^4.
Portanto todo polinômio em P_{4} é combinação linear dos elementos de \mathcal{B}. Logo \mathcal{B} gera P_{4}.

Passo 6

Prova de que \mathcal{B} é linearmente independente.
Suponha que exista uma combinação linear nula
c_0\cdot 1 + c_1\cdot x + c_2\cdot x^2 + c_3\cdot x^3 + c_4\cdot x^4 \equiv 0
onde o lado direito é o polinômio zero (isto é, o polinômio cujo coeficiente de cada potência de x é zero). Isso significa que para todo x vale essa igualdade, e, comparando coeficientes das potências de x, obtemos
c_0=0,\quad c_1=0,\quad c_2=0,\quad c_3=0,\quad c_4=0.
Portanto a única combinação linear que dá o polinômio zero é a combinação trivial (todos os c_i são zero), o que prova a independência linear de \mathcal{B}.

Passo 7

Conclusão e comentários finais. Como \mathcal{B} gera P_{4} e é linearmente independente, é uma base de P_{4}. Além disso, o número de vetores em \mathcal{B} é 5, então \dim(P_{4})=5. Na prática, para resolver questões na prova, basta lembrar que qualquer polinômio de grau até 4 é representado por um vetor de coeficientes (a_0,a_1,a_2,a_3,a_4) na base canônica \{1,x,x^2,x^3,x^4\}.

Resposta

\{\,1,\;x,\;x^{2},\;x^{3},\;x^{4}\,\}

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