Escreva a base canônica dos seguintes espaços vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede: escrever a base canônica do espaço vetorial
. As informações implícitas que vamos usar:
-
é o espaço dos polinômios com coeficientes em (assumiremos ) de grau menor ou igual a . - O que se quer é a base canônica (também chamada base padrão), ou seja, um conjunto de polinômios que gera todo
e cujos vetores são “os mais simples” possíveis.
Passo 2
O que é exatamente
? Vou explicar bem mastigado. Um elemento genérico de
é um polinômio da forma
onde
. Ou seja, cada polinômio em
é determinado por 5 coeficientes reais.
Passo 3
O que é uma base canônica? Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz dois requisitos:
- Geram o espaço (qualquer vetor do espaço é combinação linear deles).
- São linearmente independentes (nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros).
A base canônica em espaços de polinômios costuma ser formada pelos polinômios que têm um único termo não nulo:
. Vou propor esse conjunto e mostrar que funciona.
Passo 4
Proposta da base canônica para
:
Agora vamos provar que
gera
e é linearmente independente.
Passo 5
Prova de que
gera
(spanning).
Tomemos um polinômio arbitrário . Já escrevemos que
Tomemos um polinômio arbitrário
para certos
. Isso é exatamente a combinação linear
Portanto todo polinômio em
é combinação linear dos elementos de
. Logo
gera
.
Passo 6
Prova de que
é linearmente independente.
Suponha que exista uma combinação linear nula
Suponha que exista uma combinação linear nula
onde o lado direito é o polinômio zero (isto é, o polinômio cujo coeficiente de cada potência de
é zero). Isso significa que para todo
vale essa igualdade, e, comparando coeficientes das potências de
, obtemos
Portanto a única combinação linear que dá o polinômio zero é a combinação trivial (todos os
são zero), o que prova a independência linear de
.
Passo 7
Conclusão e comentários finais. Como
gera
e é linearmente independente, é uma base de
. Além disso, o número de vetores em
é
, então
. Na prática, para resolver questões na prova, basta lembrar que qualquer polinômio de grau até
é representado por um vetor de coeficientes
na base canônica
.