Questão 2(2,5) : Encontre a solução do PVI utilizando transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}(t)+5 y^{\prime}(t)+6 y(t)=e^{-2 t}, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=3 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''(t)+5\,y'(t)+6\,y(t)=e^{-2t},\quad y(0)=0,\;y'(0)=3
usando a transformada de Laplace. Vamos transformar ambos os lados da EDO, usar as condições iniciais para obter Y(s) e depois inverter a transformada para achar y(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação. Sejam
\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s).
Então
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-3,
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0)=sY(s),
\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s).
E
\mathcal{L}\{e^{-2t}\}=\frac{1}{s+2}.

Passo 3

Substituindo na EDO transformada:
\bigl(s^2Y(s)-3\bigr)+5\bigl(sY(s)\bigr)+6Y(s)=\frac{1}{s+2}.
Agrupando termos em Y(s):
Y(s)\bigl(s^2+5s+6\bigr)-3=\frac{1}{s+2} \;\;\Longrightarrow\;\; Y(s)=\frac{3+\frac{1}{s+2}}{s^2+5s+6}.
Como s^2+5s+6=(s+2)(s+3), escrevemos
Y(s) =\frac{\tfrac{3(s+2)+1}{s+2}}{(s+2)(s+3)} =\frac{3s+7}{(s+2)^2(s+3)}.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{3s+7}{(s+2)^2(s+3)} =\frac{A}{s+2}+\frac{B}{(s+2)^2}+\frac{C}{s+3}.
Multiplicando por (s+2)^2(s+3) e igualando coeficientes, obtemos o sistema
A+C=0,\quad A+B=3,\quad 6A+3B+4C=7,
cuja solução é A=2, B=1, C=-2. Logo
Y(s)=\frac{2}{s+2}+\frac{1}{(s+2)^2}-\frac{2}{s+3}.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{2}{s+2}\}=2e^{-2t},
\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+2)^2}\}=t\,e^{-2t},
\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{2}{s+3}\}=2e^{-3t}.
Portanto,
y(t)=2e^{-2t}+t\,e^{-2t}-2e^{-3t}.

Resposta

y(t)=\bigl(2+t\bigr)e^{-2t}-2e^{-3t}.

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