Questão
: Encontre a solução do PVI utilizando transformada de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
usando a transformada de Laplace. Vamos transformar ambos os lados da EDO, usar as condições iniciais para obter
e depois inverter a transformada para achar
.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação. Sejam
Então
E
Passo 3
Substituindo na EDO transformada:
Agrupando termos em
:
Como
, escrevemos
Passo 4
Fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando por
e igualando coeficientes, obtemos o sistema
cuja solução é
,
,
. Logo
Passo 5
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
,
,
.
Portanto,
Portanto,