escreva cada função em termos de funções degrau unitário. Encontre a T Laplace da função dada:
f(t)= \begin{cases}1, & 0 \leq t<4 \\\\ 0, & 4 \leq t<5 \\\\ 1, & t \geq 5\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(t)= \begin{cases} 1, & 0 \le t<4,\\\\ 0, & 4 \le t<5,\\\\ 1, & t\ge5, \end{cases}
e pede (a) escrevê-la em termos de funções degrau unitário u(t-a) e (b) encontrar sua transformada de Laplace. Vamos usar a linearidade da transformada e a propriedade de mudança de origem (“time-shift”).

Passo 2

Para montar f(t) com degraus, note que a parte inicial é 1 a partir de t=0, depois fica 0 entre 4 e 5 e volta a ser 1 para t\ge5. Assim podemos “desligar” o sinal em t=4 subtraindo u(t-4) e “religar” em t=5 somando u(t-5). Ficamos com
f(t)=u(t)\;-\;u(t-4)\;+\;u(t-5).

Passo 3

Agora aplicamos a transformada de Laplace em cada termo, lembrando que \mathcal{L}\{u(t)\}=\frac{1}{s} e \mathcal{L}\{u(t-a)\}= \frac{e^{-a s}}{s}.
Pela linearidade,
\mathcal{L}\{f(t)\} =\mathcal{L}\{u(t)\} -\mathcal{L}\{u(t-4)\} +\mathcal{L}\{u(t-5)\} =\frac{1}{s} -\frac{e^{-4s}}{s} +\frac{e^{-5s}}{s}.

Passo 4

Podemos apenas agrupar em um único quociente:
\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{1 - e^{-4s} + e^{-5s}}{s}.

Resposta

f(t)=u(t)-u(t-4)+u(t-5) \displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1 - e^{-4s} + e^{-5s}}{s}

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