Exercício 2. Calcule as integrais duplas utilizando coordenadas polares:
e
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a semicircunferência de raio
acima do eixo
, isto é
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares. Vamos precisar usar
-
, . -
. - Determinar os limites de
e para a região .
Passo 2
Em coordenadas polares, o integrando fica
e o elemento de área
logo o produto é
Passo 3
A região
em polares é
pois
obriga
de
a
, e
vai de
até a borda
.
Passo 4
Montamos a integral dupla em polares e separamos variáveis:
Passo 5
Calcular a parte radial:
Passo 6
Calcular a parte angular usando
,
:
Passo 7
Multiplicando os dois resultados: