Exercício 2. Calcule as integrais duplas utilizando coordenadas polares:
\iint_{D} x^{2} y d A, D=\left\{(x, y): y \geq 0\right. e \left.x^{2}+y^{2} \leq 25\right\};

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{D} x^{2}y\,dA,
onde D é a semicircunferência de raio 5 acima do eixo x, isto é
D = \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le25,\;y\ge0\}.
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares. Vamos precisar usar
  1. x = r\cos\theta, y = r\sin\theta.
  2. dA = r\,dr\,d\theta.
  3. Determinar os limites de r e \theta para a região D.

Passo 2

Em coordenadas polares, o integrando fica
x^{2}y = (r\cos\theta)^{2}\,(r\sin\theta) = r^{3}\cos^{2}\theta\,\sin\theta
e o elemento de área
dA = r\,dr\,d\theta,
logo o produto é
x^{2}y\,dA = r^{3}\cos^{2}\theta\,\sin\theta \;\bigl(r\,dr\,d\theta\bigr) = r^{4}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 3

A região D em polares é
0 \le r \le 5,\quad 0 \le \theta \le \pi,
pois y=r\sin\theta\ge0 obriga \theta de 0 a \pi, e r vai de 0 até a borda r=5.

Passo 4

Montamos a integral dupla em polares e separamos variáveis:
\iint_{D} x^{2}y\,dA = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{5} r^{4}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,dr\,d\theta = \Bigl(\int_{0}^{5} r^{4}\,dr\Bigr)\,\Bigl(\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,d\theta\Bigr).

Passo 5

Calcular a parte radial:
\int_{0}^{5} r^{4}\,dr = \biggl[\frac{r^{5}}{5}\biggr]_{0}^{5} = \frac{5^{5}}{5} = 625.

Passo 6

Calcular a parte angular usando u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta:
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,d\theta = \int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,d\theta = \int_{u=1}^{u=-1}u^{2}(-du) = \int_{-1}^{1}u^{2}\,du = \biggl[\frac{u^{3}}{3}\biggr]_{-1}^{1} = \frac{1}{3}-\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) = \frac{2}{3}.

Passo 7

Multiplicando os dois resultados:
625 \times \frac{2}{3} = \frac{1250}{3}.

Resposta

\iint_{D} x^{2}y\,dA = \frac{1250}{3}.

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