Exercício 2. Calcule as integrais duplas utilizando coordenadas polares: \iint_{R} \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A, R=\left\{(x, y): x \geq 0, y \geq 0\right. e \left.1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9\right\}; Passo 1O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_{R}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA onde R=\bigl\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;1\le x^{2}+y^{2}\le9\bigr\}. O conteúdo principal é a troca para coordenadas polares, em que x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e dA=r\,dr\,d\theta. Passo 2Descrevemos R em coordenadas polares. Como x^{2}+y^{2}=r^{2} varia de 1 a 9 e estamos no primeiro quadrante, temos 1\le r^{2}\le9\quad\Longrightarrow\quad 1\le r\le3, e 0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}. Passo 3Reescrevendo a integral em coordenadas polares, fica \iint_{R}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=1}^{3}\operatorname{sen}\bigl(r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta. Passo 4Para calcular \displaystyle\int_{1}^{3}\operatorname{sen}(r^{2})\,r\,dr, usamos a substituição u=r^{2}\quad\Longrightarrow\quad du=2r\,dr \quad\Longrightarrow\quad r\,dr=\frac{du}{2}. Os limites em u vão de u(1)=1 até u(3)=9. Assim, \int_{r=1}^{3}\operatorname{sen}(r^{2})\,r\,dr =\int_{u=1}^{9}\operatorname{sen}(u)\,\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\Bigl(-\cos(u)\Bigr)\biggr|_{1}^{9} =\frac{1}{2}\bigl(-\cos9+\cos1\bigr) =\frac{\cos1-\cos9}{2}. Passo 5Substituindo esse resultado na integral em \theta, obtemos \int_{0}^{\pi/2}\!\Bigl(\tfrac{\cos1-\cos9}{2}\Bigr)\,d\theta =\frac{\cos1-\cos9}{2}\,\bigl[\theta\bigr]_{0}^{\pi/2} =\frac{\cos1-\cos9}{2}\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{4}\,(\cos1-\cos9). Resposta \iint_{R}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA =\frac{\pi}{4}\,\bigl(\cos1-\cos9\bigr). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosExercício 2. Calcule as integrais duplas utilizando coordenadas polares: \iint_{D} x^{2} y d A, D=\left\{(x, y): y \geq 0\right. e \left.x^{2}+y^{2} \leq 25\right\}; escreva cada função em termos de funções degrau unitário. Encontre a T Laplace da função dada: f(t)= \begin{cases}1, & 0 \leq t<4 \\\\ 0, & 4 \leq t<5 \\\\ 1, & t \geq 5\end{cases} Exercício 2. Calcule as integrais duplas utilizando coordenadas polares: \iint_{\Omega} \operatorname{arctg}(y / x) d A, \Omega=\left\{(x, y): 0 \leq y \leq x\right. e \left.1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}; Exercício 3. Calcule a área da região utilizando integrais duplas: Dentro do laço maior porém exterior ao laço menor do limaçon r=1+2 \cos \theta;