Exercício 2. Calcule as integrais duplas utilizando coordenadas polares:
\iint_{R} \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A, R=\left\{(x, y): x \geq 0, y \geq 0\right. e \left.1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9\right\};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA
onde
R=\bigl\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;1\le x^{2}+y^{2}\le9\bigr\}.
O conteúdo principal é a troca para coordenadas polares, em que x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Descrevemos R em coordenadas polares. Como x^{2}+y^{2}=r^{2} varia de 1 a 9 e estamos no primeiro quadrante, temos
1\le r^{2}\le9\quad\Longrightarrow\quad 1\le r\le3,
e
0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em coordenadas polares, fica
\iint_{R}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=1}^{3}\operatorname{sen}\bigl(r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Para calcular \displaystyle\int_{1}^{3}\operatorname{sen}(r^{2})\,r\,dr, usamos a substituição
u=r^{2}\quad\Longrightarrow\quad du=2r\,dr \quad\Longrightarrow\quad r\,dr=\frac{du}{2}.
Os limites em u vão de u(1)=1 até u(3)=9. Assim,
\int_{r=1}^{3}\operatorname{sen}(r^{2})\,r\,dr =\int_{u=1}^{9}\operatorname{sen}(u)\,\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\Bigl(-\cos(u)\Bigr)\biggr|_{1}^{9} =\frac{1}{2}\bigl(-\cos9+\cos1\bigr) =\frac{\cos1-\cos9}{2}.

Passo 5

Substituindo esse resultado na integral em \theta, obtemos
\int_{0}^{\pi/2}\!\Bigl(\tfrac{\cos1-\cos9}{2}\Bigr)\,d\theta =\frac{\cos1-\cos9}{2}\,\bigl[\theta\bigr]_{0}^{\pi/2} =\frac{\cos1-\cos9}{2}\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{4}\,(\cos1-\cos9).

Resposta

\iint_{R}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA =\frac{\pi}{4}\,\bigl(\cos1-\cos9\bigr).

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