Questão 2 (2 pontos) Usando o método de separação de variaveis, resolva o seguinte problema
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação da difusão (equação do calor)
com condições de contorno homogêneas
e condição inicial
O método indicado é separação de variáveis e expansão em série de senos (autovalores do problema de Sturm–Liouville no intervalo
).
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
Substituindo na PDE, obtemos
Dividindo por
(não nulos), surge a separação
onde
é constante de separação.
Passo 3
Da parte espacial vem o problema de autovalores
As soluções não-triviais ocorrem para
com autofunções
Passo 4
Da parte temporal temos
cuja solução é
Passo 5
Como a PDE é linear e homogênea, a solução geral é soma dos modos:
Passo 6
Para ajustar a condição inicial
, impomos
Os coeficientes
vêm da expansão em série de Fourier-seno: