Questão 2 (2 pontos) Usando o método de separação de variaveis, resolva o seguinte problema
\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial t}=\alpha^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, \quad x \in \mathbb{R} \\\ u(0, t)=0, \quad u(L, t)=0 \\\ u(x, 0)=f(x), \quad 0<x<L \ldots \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da difusão (equação do calor)
\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha^{2}\,\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}},\quad 0<x<L,\;t>0
com condições de contorno homogêneas
u(0,t)=0,\quad u(L,t)=0
e condição inicial
u(x,0)=f(x),\quad 0<x<L.
O método indicado é separação de variáveis e expansão em série de senos (autovalores do problema de Sturm–Liouville no intervalo [0,L]).

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo na PDE, obtemos
X(x)\,T'(t) \;=\;\alpha^{2}\,X''(x)\,T(t).
Dividindo por \alpha^{2}X(x)T(t) (não nulos), surge a separação
\frac{T'(t)}{\alpha^{2}T(t)} \;=\;\frac{X''(x)}{X(x)} \;=\;-\,\lambda,
onde \lambda é constante de separação.

Passo 3

Da parte espacial vem o problema de autovalores
X''(x)+\lambda\,X(x)=0, \quad X(0)=0,\; X(L)=0.
As soluções não-triviais ocorrem para
\lambda_{n}=\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}\Bigr)^{2},\quad n=1,2,3,\dots
com autofunções
X_{n}(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr).

Passo 4

Da parte temporal temos
T'(t)+\alpha^{2}\lambda\,T(t)=0,
cuja solução é
T_{n}(t)=\exp\Bigl(-\alpha^{2}\lambda_{n}\,t\Bigr) =\exp\!\Bigl(-\alpha^{2}\,\tfrac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}\,t\Bigr).

Passo 5

Como a PDE é linear e homogênea, a solução geral é soma dos modos:
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)\, \exp\!\Bigl(-\alpha^{2}\,\tfrac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}\,t\Bigr).

Passo 6

Para ajustar a condição inicial u(x,0)=f(x), impomos
f(x) =\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr).
Os coeficientes B_{n} vêm da expansão em série de Fourier-seno:
B_{n} =\frac{2}{L} \int_{0}^{L}f(x)\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)\,dx.

Resposta

\boxed{ u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \Bigl[\tfrac{2}{L}\!\int_{0}^{L}f(s)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}s\bigr)\,ds\Bigr] \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)\, \exp\!\Bigl(-\alpha^{2}\,\tfrac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}\,t\Bigr) }.

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