Escreva cada uma das matrizes abaixo como produto de matrizes elementares, e encontre suas inversas.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a matriz
A = 1 & 0[6pt] 0 & 2
como produto de matrizes elementares e em seguida encontrar A^-1. Vamos usar o conceito de que cada matriz elementar corresponde a uma única operação de linha elementar.]
Passo 2
Identificamos que A é obtida a partir da matriz identidade
I = 1 & 0[6pt] 0 & 1
aplicando a operação “multiplicar a segunda linha por 2”. Essa operação é do tipo II (multiplicação de uma linha por escalar).]
Passo 3
A matriz elementar correspondente à operação “multiplicar a linha 2 por 2” é
E = 1 & 0[6pt] 0 & 2
Por construção, E,I = A. Portanto
A = E
]
Passo 4
Como A já é uma matriz elementar, ela própria é o produto desejado (produto de uma única matriz elementar). Agora, a inversa dessa matriz elementar realiza a operação inversa: “multiplicar a linha 2 por tfrac12”. Logo
E^-1 = 1 & 0[6pt] 0 & tfrac12
]
Resposta
A decomposição como produto de matrizes elementares é