Escreva cada uma das matrizes abaixo como produto de matrizes elementares, e encontre suas inversas.
[ll1 & 0 0 & 2]

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz
A = 1 & 0[6pt] 0 & 2
como produto de matrizes elementares e em seguida encontrar A^-1. Vamos usar o conceito de que cada matriz elementar corresponde a uma única operação de linha elementar.]

Passo 2

Identificamos que A é obtida a partir da matriz identidade
I = 1 & 0[6pt] 0 & 1
aplicando a operação “multiplicar a segunda linha por 2”. Essa operação é do tipo II (multiplicação de uma linha por escalar).]

Passo 3

A matriz elementar correspondente à operação “multiplicar a linha 2 por 2” é
E = 1 & 0[6pt] 0 & 2
Por construção, E,I = A. Portanto
A = E
]

Passo 4

Como A já é uma matriz elementar, ela própria é o produto desejado (produto de uma única matriz elementar). Agora, a inversa dessa matriz elementar realiza a operação inversa: “multiplicar a linha 2 por tfrac12”. Logo
E^-1 = 1 & 0[6pt] 0 & tfrac12
]

Resposta

A decomposição como produto de matrizes elementares é
1 & 0[6pt] 0 & 2 = E,
once
E = 1 & 0[6pt] 0 & 2
A inversa é
A^-1 = E^-1 = 1 & 0[6pt] 0 & tfrac12
]

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