Escreva cada uma das matrizes abaixo como produto de matrizes elementares, e encontre suas inversas.
[lll1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3]

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz
A = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3
como produto de matrizes elementares e, em seguida, encontrar A^-1. Vamos usar o fato de que multiplicar a linha i de I por um escalar lambda corresponde a uma matriz elementar E que é igual a I exceto na entrada (i,i), onde vale lambda.

Passo 2

Identificamos que, para obter A a partir da identidade I3, basta:
  1. escalar a linha 2 por 2,
  2. escalar a linha 3 por 3.
    A matriz que escala a linha 2 é
E1 = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1 ,
e a que escala a linha 3 é
E2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3

Passo 3

Aplicando primeiro E1 em I3 e depois E2, temos
A ;=; E2,E1,I3 ;=; E2,E1

Passo 4

Cada matriz elementar de escalação é invertível trocando o escalar pela sua inversa. Assim,
E1^-1 = 1 & 0 & 0 0 & tfrac12 & 0 0 & 0 & 1 , E2^-1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & tfrac13

Passo 5

Como (E2E1)^-1 = E1^-1E2^-1, obtemos
A^-1 ;=; E1^-1,E2^-1 ;=; 1 & 0 & 0 0 & tfrac12 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & tfrac13 ;=; 1 & 0 & 0 0 & tfrac12 & 0 0 & 0 & tfrac13

Resposta

A fatoração em matrizes elementares é
A = E2,E1 com E1= 1&0&0 0&2&0 0&0&1 , ; E2= 1&0&0 0&1&0 0&0&3 ,
e a inversa é
A^-1 = 1 & 0 & 0 0 & tfrac12 & 0 0 & 0 & tfrac13

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