Escreva cada uma das matrizes abaixo como produto de matrizes elementares, e encontre suas inversas.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a matriz
A = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3
como produto de matrizes elementares e, em seguida, encontrar A^-1. Vamos usar o fato de que multiplicar a linha i de I por um escalar lambda corresponde a uma matriz elementar E que é igual a I exceto na entrada (i,i), onde vale lambda.
Passo 2
Identificamos que, para obter A a partir da identidade I3, basta:
escalar a linha 2 por 2,
escalar a linha 3 por 3.
A matriz que escala a linha 2 é
E1 = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1 ,
e a que escala a linha 3 é
E2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3
Passo 3
Aplicando primeiro E1 em I3 e depois E2, temos
A ;=; E2,E1,I3 ;=; E2,E1
Passo 4
Cada matriz elementar de escalação é invertível trocando o escalar pela sua inversa. Assim,