Escreva cada uma das matrizes abaixo como produto de matrizes elementares, e encontre suas inversas.
[lll1 & 2 & 3 0 & 4 & 5 0 & 0 & 6]

Passo 1

O enunciado pede para escrever
A= 1 & 2 & 3 0 & 4 & 5 0 & 0 & 6
como produto de matrizes elementares e, em seguida, encontrar A^-1.
Conteúdo: matriz elementar (operações de linha) e inversão de matriz triangular.

Passo 2

Vamos ver quais operações de linha, aplicadas a I, geram A. Cada operação corresponde a uma matriz elementar E, de modo que
A = E5,E4,E3,E2,E1,I
As operações são, na ordem em que as aplicamos a I:
1. Adicionar 2 vezes a linha 2 na linha 1.
2. Adicionar 3 vezes a linha 3 na linha 1.
3. Multiplicar a linha 2 por 4.
4. Adicionar 5 vezes a linha 3 na linha 2.
5. Multiplicar a linha 3 por 6.

Passo 3

Escrevendo cada matriz elementar:
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Passo 4

Cada é invertível, com
Como
podemos multiplicar em bloco ou usar o fato de ser triangular: resolvendo . Fazendo isso obtém-se
]

Resposta

A decomposição em matrizes elementares é
A =1&0&00&1&00&0&6 1&0&00&1&50&0&1 1&0&00&4&00&0&1 1&0&30&1&00&0&1 1&2&00&1&00&0&1,
e
A^-1 = 1 & -tfrac12 & -tfrac112 0 & tfrac14 & -tfrac524 0 & 0 & tfrac16

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