Escreva cada uma das matrizes abaixo como produto de matrizes elementares, e encontre suas inversas.
Passo 1
O enunciado pede para escrever
A= 1 & 2 & 3 0 & 4 & 5 0 & 0 & 6
como produto de matrizes elementares e, em seguida, encontrar A^-1.
Conteúdo: matriz elementar (operações de linha) e inversão de matriz triangular.
Passo 2
Vamos ver quais operações de linha, aplicadas a I, geram A. Cada operação corresponde a uma matriz elementar E, de modo que
A = E5,E4,E3,E2,E1,I
As operações são, na ordem em que as aplicamos a I: 1. Adicionar 2 vezes a linha 2 na linha 1. 2. Adicionar 3 vezes a linha 3 na linha 1. 3. Multiplicar a linha 2 por 4. 4. Adicionar 5 vezes a linha 3 na linha 2. 5. Multiplicar a linha 3 por 6.
Passo 3
Escrevendo cada matriz elementar:
Logo
Passo 4
Cada é invertível, com
Como
podemos multiplicar em bloco ou usar o fato de ser triangular: resolvendo . Fazendo isso obtém-se
]
Resposta
A decomposição em matrizes elementares é
A =1&0&00&1&00&0&6 1&0&00&1&50&0&1 1&0&00&4&00&0&1 1&0&30&1&00&0&1 1&2&00&1&00&0&1,