Seja A é matriz n times n invertível e b é um vetor coluna com n entradas, então o sistema A x=b é possível e determinado.

Passo 1

O enunciado afirma que, sendo A uma matriz invertível de ordem n e b um vetor em R^n, o sistema linear
A,x = b
é possível (tem solução) e determinado (solução única). O conteúdo usado aqui é a definição de matriz invertível e as propriedades da inversa de uma matriz.

Passo 2

Para mostrar a existência de solução, note que por hipótese existe a matriz inversa A^-1. Multiplicando a equação
A,x = b
à esquerda por A^-1, obtemos
A^-1(A,x)=A^-1b Longrightarrow (In),x = A^-1b Longrightarrow x = A^-1b
Isso prova que pelo menos uma solução existe, a saber x = A^-1b.

Passo 3

Para mostrar a unicidade, suponha que existam duas soluções x1 e x2 tais que
A,x1 = b e A,x2 = b
Subtraindo as duas igualdades, vem
A,(x1 - x2) = 0
Multiplicando à esquerda por A^-1
x1 - x2 = A^-10 = 0 Longrightarrow x1 = x2
Logo, a solução não pode ser diferente: é única.

Resposta

O sistema A,x=b é possível e determinado, com solução única
x = A^-1b

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