Escreva cada número decimal abaixo como uma fração. (Dica: escreva o número como uma soma infinita de potências de 10 e use a fórmula da soma da série geométrica.)
0, 2=0,222 ldots

Passo 1

O que o enunciado pede: transformar o número decimal periódico 0,2=0,222ldots em uma fração.
Conteúdo: séries infinitas e, em especial, série geométrica.
O que vamos usar:
  1. Escrever 0,222ldots como soma de infinitos termos de potências de 10.
  2. Aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita, que é
S=a1-r,
onde a é o primeiro termo e r a razão (com |r|<1).

Passo 2

Vamos escrever o número como soma infinita:
0,222ldots = 210 + 210^2 + 210^3 + cdots = sumk=1^infty210^k
Aqui cada termo é 210^k.

Passo 3

Reconhecemos essa soma como uma série geométrica infinita:
  • Primeiro termo a = tfrac210.
  • Razão r = tfrac110, pois cada termo é 1/10 do anterior.
    Como |r|=0,1<1, podemos usar a fórmula da soma.

Passo 4

Aplicando S=a1-r:
S = tfrac2101 - tfrac110 = tfrac210tfrac910 = 210times109 = 29

Resposta

29

Exercícios relacionados