Mostre por que as séries a seguir são divergentes. (Dica: aplique a ideia da Questão anterior: uma série sum an só pode convergir se lim n infty an=0.)
sumn=1^infty cosh (1n)

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é a série
sumn=1^infty cosh!l(tfrac1nr)
O conteúdo é séries numéricas e o teste que a gente vai usar é o “teste do termo geral”: se para uma série sum an a gente tiver
limn to infty an neq 0,
ela não pode convergir. Então, para mostrar que essa série diverge, basta calcular o limite de an = cosh(1/n) quando n to infty.

Passo 2

Primeiro, lembra da definição de cosh x:
cosh x = e^x + e^-x2
Então
cosh!l(tfrac1nr) = e^1/n + e^-1/n2

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando n fica gigante ( n to infty). Note que 1/n to 0. E sabemos que
e^y xrightarrow[y to 0] 1 e e^-y xrightarrow[y to 0] 1
Aplicando isso em y = 1/n:
e^1/n to 1, e^-1/n to 1 quando n to infty

Passo 4

Substituindo esses limites na expressão da cosh:
cosh!l(tfrac1nr) = e^1/n + e^-1/n2 xrightarrow[ntoinfty] 1 + 12 = 1
Ou seja,
limn to infty cosh!l(tfrac1nr) = 1 neq 0

Passo 5

Pelo teste do termo geral, se an não tende a zero, a série
sum an diverge. Aqui an = cosh(1/n) tende a 1, não a 0.

Resposta

A série diverge, pois limntoinftycoshl(tfrac1nr)=1neq0.

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