Mostre por que as séries a seguir são divergentes. (Dica: aplique a ideia da Questão anterior: uma série sum an só pode convergir se lim n infty an=0.)

Passo 1

Resumo da questão: a gente quer mostrar que a série
sumn=1^infty ln!gl(n^2+12n^2+1gr)
é divergente.
Matéria envolvida: séries numéricas e a condição necessária de convergência (“se sum an converge então an to 0”).
O que vamos precisar: calcular o limite do termo geral
an = ln!gl(n^2+12n^2+1gr)
quando ntoinfty.

Passo 2

Vamos achar
limntoinfty an.
Para n muito grande, n^2+1approx n^2 e 2n^2+1approx 2n^2, então
n^2+12n^2+1 ;longrightarrow; n^22n^2 =12
Como ln(x) é contínua, dá pra puxar o limite pra dentro:
limntoinfty an = limntoinfty ln!l(tfracn^2+12n^2+1r) = ln!l(limntoinftytfracn^2+12n^2+1r) = lnl(tfrac12r) = -ln2

Passo 3

Teorema básico de séries: se sum an converge, obrigatoriamente an to 0.
Aqui achamos lim an = -ln2 neq 0.

Resposta

A série diverge, porque o termo geral não tende a zero (tende a -ln2).

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