Escreva cada número decimal abaixo como uma fração. (Dica: escreva o número como uma soma infinita de potências de 10 e use a fórmula da soma da série geométrica.)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente transformar o número decimal periódico
3,417 = 3,417417417ldots
em uma fração.
Conteúdo: série geométrica infinita.
O que vamos precisar:
Escrever o decimal como soma infinita de potências de 10.
Usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita
S = a1 - r,
onde a é o primeiro termo e r é a razão.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a parte inteira da parte decimal repetida.
Definimos
x = 3,417
Logo
x = 3 + 0,417
A parte difícil é converter
0,417 = 0.417417417ldots
em fração.
Passo 3
Agora, escrevemos a parte decimal como uma soma infinita. Cada bloco “417” começa a cada três casas decimais, ou seja, cada termo é deslocado por 10^3 = 1000. Assim:
0,417 = 41710^3 + 41710^6 + 41710^9 + cdots
Isso é uma série geométrica com:
a = 4171000, r = 11000
Passo 4
Aplicando a fórmula da soma infinita
S = a1 - r = 41710001 - 11000 = 4171000 cdot 19991000 = 4171000 cdot 1000999 = 417999
Daí simplificamos a fração 417999. Ambos são divisíveis por 3: