Escreva cada número decimal abaixo como uma fração. (Dica: escreva o número como uma soma infinita de potências de 10 e use a fórmula da soma da série geométrica.)
3, 417=3,417417417 ldots

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente transformar o número decimal periódico
3,417 = 3,417417417ldots
em uma fração.
Conteúdo: série geométrica infinita.
O que vamos precisar:
  • Escrever o decimal como soma infinita de potências de 10.
  • Usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita
S = a1 - r,
onde a é o primeiro termo e r é a razão.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a parte inteira da parte decimal repetida.
Definimos
x = 3,417
Logo
x = 3 + 0,417
A parte difícil é converter
0,417 = 0.417417417ldots
em fração.

Passo 3

Agora, escrevemos a parte decimal como uma soma infinita. Cada bloco “417” começa a cada três casas decimais, ou seja, cada termo é deslocado por 10^3 = 1000. Assim:
0,417 = 41710^3 + 41710^6 + 41710^9 + cdots
Isso é uma série geométrica com:
a = 4171000, r = 11000

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma infinita
S = a1 - r = 41710001 - 11000 = 4171000 cdot 19991000 = 4171000 cdot 1000999 = 417999
Daí simplificamos a fração 417999. Ambos são divisíveis por 3:
417999 = 417 div 3999 div 3 = 139333

Passo 5

Voltando para x:
x = 3 + 0,417 = 3 + 139333 = 3 cdot 333333 + 139333 = 999 + 139333 = 1138333

Resposta

3,417 = 1138333

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