ESCREVA OS 5 (CINCO) PRIMEIROS TERMOS NÃO NULOS DOS DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE DE MACLAURIN DAS FUNÇÕES ABAIXO E POR INDUÇÃO SIMPLES ESCREVA O TERMO GERAL DE ORDEM n (n-ÉSIMO TERMO).
f(x)=senh x

Passo 1

Resumo da questão: a gente precisa achar a série de Maclaurin de
f(x)=sinh x
  1. escrever os 5 primeiros termos não-nulos dessa série;
  2. usar indução simples pra descobrir o termo geral de ordem f(x)=sumk=0^inftyf^(k)(0)k!,x^k.
Conteúdo/matéria:
  • Definição de série de Maclaurin:
  • Derivadas de e .
O que vamos precisar:
  • Saber que e .
  • Avaliar essas derivadas em para extrair os coeficientes.

Passo 2

Teoria da série de Maclaurin:
Para qualquer f(x)=sumk=0^infty f^(k)(0)k!,x^k infinitamente diferenciável em sinh(0)=0, cosh(0)=1 ,
No caso de :

  • … e assim vai, alternando.
Agora, os valores em zero:
Logo, toda derivada de ordem par de avaliada em é , e toda derivada de ordem ímpar é .

Passo 3

Vamos pegar os primeiros para ver os coeficientes não-nulos:
  • Para : → termo some.
  • Para : → coeficiente .
  • Para : .
  • Para : → coeficiente .
  • Para : zero de novo.
  • Para : → coeficiente .
  • Para : zero.
  • Para : coeficiente .
  • Para : zero.
  • Para : coeficiente .

Passo 4

Com isso, os cinco primeiros termos não-nulos são:
sinh x = x + x^33! + x^55! + x^77! + x^99! + cdots

Passo 5

A gente já percebeu o padrão: só aparecem potências ímpares de Tn ;=; x^2n-1(2n-1)!, n=1,2,3,dots e todo coeficiente é Tn+1 = x^2(n+1)-1(2(n+1)-1)! = x^2n+1(2n+1)!, ê.
Para pegar o termo geral por indução simples, indexa assim: o -ésimo termo não-nulo corresponde a
Indução (esquema rápido):
  • Base : .
  • Passo indutivo: se , então que é exatamente o próximo termo depois de multiplicar por .

Resposta

Os cinco primeiros termos não-nulos de x,;x^33!,;x^55!,;x^77!,;x^99!, são
boxedTn = x^2n-1(2n-1)!, n=1,2,3,dots
e o termo geral de ordem (n-ésimo termo) é

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