ESCREVA OS 5 (CINCO) PRIMEIROS TERMOS NÃO NULOS DOS DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE DE MACLAURIN DAS FUNÇÕES ABAIXO E POR INDUÇÃO SIMPLES ESCREVA O TERMO GERAL DE ORDEM n (n-ÉSIMO TERMO).
Passo 1
Resumo da questão: a gente precisa achar a série de Maclaurin de
- escrever os 5 primeiros termos não-nulos dessa série;
- usar indução simples pra descobrir o termo geral de ordem
.
Conteúdo/matéria:
- Definição de série de Maclaurin:
- Derivadas de
e .
O que vamos precisar:
- Saber que
e . - Avaliar essas derivadas em
para extrair os coeficientes.
Passo 2
Teoria da série de Maclaurin:
Para qualquer infinitamente diferenciável em
,
Para qualquer
No caso de
:
-
-
-
-
… e assim vai, alternando.
Agora, os valores em zero:
Logo, toda derivada de ordem par de
avaliada em
é
, e toda derivada de ordem ímpar é
.
Passo 3
Vamos pegar os primeiros
para ver os coeficientes não-nulos:
- Para
: → termo some. - Para
: → coeficiente . - Para
: . - Para
: → coeficiente . - Para
: zero de novo. - Para
: → coeficiente . - Para
: zero. - Para
: coeficiente . - Para
: zero. - Para
: coeficiente .
Passo 4
Com isso, os cinco primeiros termos não-nulos são:
Passo 5
A gente já percebeu o padrão: só aparecem potências ímpares de
e todo coeficiente é
.
Para pegar o termo geral por indução simples, indexa assim: o -ésimo termo não-nulo corresponde a
Para pegar o termo geral por indução simples, indexa assim: o
Indução (esquema rápido):
- Base
: . - Passo indutivo: se
, então que é exatamente o próximo termo depois de multiplicar por .
Resposta
Os cinco primeiros termos não-nulos de
são
e o termo geral de ordem
(n-ésimo termo) é