ESCREVA OS 5 (CINCO) PRIMEIROS TERMOS NÃO NULOS DOS DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE DE MACLAURIN DAS FUNÇÕES ABAIXO E POR INDUÇÃO SIMPLES ESCREVA O TERMO GERAL DE ORDEM n (n-ÉSIMO TERMO).
f(x)=(1+sen x)^1 / 2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para desenvolver em série de Maclaurin a função
e, primeiro, escrever os cinco primeiros termos não nulos dessa expansão; em segundo lugar, usar “indução simples” para apresentar o termo geral de ordem f(x) = (1+sen x)^tfrac12.
Conteúdo envolvido:
  • Série de Maclaurin de .
  • Fórmula do binômio de Newton generalizado .
  • Composição de séries e combinação de termos iguais em potências de .

Passo 2

Primeiro, a gente expande em série de Maclaurin até a ordem sen x = x - x^36 + x^5120 + O(x^7) :

Passo 3

Agora vamos lembrar do binômio de Newton generalizado: para (1+u)^1/2 = sumk=0^infty binom1/2k,u^k, binom1/2k = 12l(12-1r)l(12-2r)cdotsl(12-(k-1)r)k! e ,
Aqui a gente vai tomar e desenvolver até achar os cinco primeiros termos não nulos.

Passo 4

Substituindo na soma e coletando até a potência (1+sen x)^1/2 = 1 + x2 - x^28 - x^348 + x^4384 + O(x^5) (já que cinco termos não nulos saem nos graus ), obtemos:
  1. : .
  2. : .
  3. : .
  4. : .
  5. : .
Somando tudo e coletando potências iguais de , dá

Passo 5

Para o termo geral (indução simples), basta anotar que toda a expansão vem da fórmula do binômio de Newton:
Esse (1+sen x)^1/2 =sumn=0^inftybinom1/2n,l(sen xr)^n é exatamente o “termo geral” pedido.

Resposta

Os cinco primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de são:
1 ;+;x2;-;x^28;-;x^348;+;x^4384
O termo geral de ordem Tn(x) ;=;binom1/2n,l(sen xr)^n é

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