ESCREVA OS 5 (CINCO) PRIMEIROS TERMOS NÃO NULOS DOS DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE DE MACLAURIN DAS FUNÇÕES ABAIXO E POR INDUÇÃO SIMPLES ESCREVA O TERMO GERAL DE ORDEM n (n-ÉSIMO TERMO).
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para desenvolver em série de Maclaurin a função
e, primeiro, escrever os cinco primeiros termos não nulos dessa expansão; em segundo lugar, usar “indução simples” para apresentar o termo geral de ordem
.
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Série de Maclaurin de .
- Fórmula do binômio de Newton generalizado
. - Composição de séries e combinação de termos iguais em potências de
.
Passo 2
Primeiro, a gente expande em série de Maclaurin até a ordem
:
Passo 3
Agora vamos lembrar do binômio de Newton generalizado: para
e
,
Aqui a gente vai tomar e desenvolver até achar os cinco primeiros termos não nulos.
Passo 4
Substituindo na soma e coletando até a potência
(já que cinco termos não nulos saem nos graus
), obtemos:
-
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
Somando tudo e coletando potências iguais de
, dá
Passo 5
Para o termo geral (indução simples), basta anotar que toda a expansão vem da fórmula do binômio de Newton:
Esse
é exatamente o “termo geral” pedido.
Resposta
Os cinco primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de são:
O termo geral de ordem
é