ESCREVA OS 5 (CINCO) PRIMEIROS TERMOS NÃO NULOS DOS DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE DE MACLAURIN DAS FUNÇÕES ABAIXO E POR INDUÇÃO SIMPLES ESCREVA O TERMO GERAL DE ORDEM n (n-ÉSIMO TERMO).
Passo 1
Beleza, o enunciado pede duas coisas:
- Escrever os cinco primeiros termos não nulos do desenvolvimento em série de Maclaurin de
- Mostrar por indução simples qual é o termo geral de ordem
.
Conteúdo: séries de Taylor/Maclaurin, cálculo de derivadas em, reconhecimento de padrão e prova por indução. Não precisa assumir nada pronto, vamos do zero!
Passo 2
Vamos lembrar que a série de Maclaurin de
é
Então precisamos das primeiras derivadas de
em
:
-
. -
; ; . -
; ; . -
; ; . -
; ; . -
; ; .
Agora, cada termo é
.
Passo 3
Calculando os cinco primeiros termos não nulos (isto é, de
até
):
k=1:
.
k=2: .
k=3: .
k=4: .
k=5: .
k=2:
k=3:
k=4:
k=5:
Logo, os cinco primeiros termos não nulos são
Passo 4
Agora vamos perceber o padrão dos sinais e dos denominadores. Os sinais alternam:
, e o denominador de cada termo é justamente o grau
. Logo o
-ésimo termo (para
) parece ser
Passo 5
Prova por indução simples do termo geral
:
Base
:
, bate com o coeficiente do
.
Passo indutivo: suponha .
Da expansão, sabemos que a derivada em série obedece
Passo indutivo: suponha
Da expansão, sabemos que a derivada em série obedece
Compare o coeficiente de
em ambos os lados: do lado de
vem
, e do lado de
vem
. Logo
Isso fecha a indução. Portanto, para todo
,
Resposta
Série de Maclaurin de
:
Termo geral de ordem
(para
):