ESCREVA OS 5 (CINCO) PRIMEIROS TERMOS NÃO NULOS DOS DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE DE MACLAURIN DAS FUNÇÕES ABAIXO E POR INDUÇÃO SIMPLES ESCREVA O TERMO GERAL DE ORDEM n (n-ÉSIMO TERMO).
f(x)=ln (1+x)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede duas coisas:
  1. Escrever os cinco primeiros termos não nulos do desenvolvimento em série de Maclaurin de
f(x)=ln(1+x)
  1. Mostrar por indução simples qual é o termo geral de ordem .
    Conteúdo: séries de Taylor/Maclaurin, cálculo de derivadas em , reconhecimento de padrão e prova por indução. Não precisa assumir nada pronto, vamos do zero!

Passo 2

Vamos lembrar que a série de Maclaurin de f(x)=sumk=0^inftyf^(k)(0)k!,x^k é
Então precisamos das primeiras derivadas de em :
  1. .
  2. ; ; .
  3. ; ; .
  4. ; ; .
  5. ; ; .
  6. ; ; .
Agora, cada termo é .

Passo 3

Calculando os cinco primeiros termos não nulos (isto é, de x ;-;x^22;+;x^33;-;x^44;+;x^55 até ):
k=1: .
k=2: .
k=3: .
k=4: .
k=5: .
Logo, os cinco primeiros termos não nulos são

Passo 4

Agora vamos perceber o padrão dos sinais e dos denominadores. Os sinais alternam: Tn = (-1)^n-1,x^nn , e o denominador de cada termo é justamente o grau . Logo o -ésimo termo (para ) parece ser

Passo 5

Prova por indução simples do termo geral f'(x)=sumk=1^infty k,ak,x^k-1 ;=;11+x=summ=0^infty(-1)^m x^m :
Base (n+1),an+1=(-1)^n Longrightarrow an+1 = (-1)^nn+1 = (-1)^(n+1)-11n+1 : Tn = an,x^n = (-1)^n-1,x^nn , bate com o coeficiente do .
Passo indutivo: suponha .
Da expansão, sabemos que a derivada em série obedece
Compare o coeficiente de em ambos os lados: do lado de vem , e do lado de vem . Logo
Isso fecha a indução. Portanto, para todo ,

Resposta

Série de Maclaurin de boxed ln(1+x)=x - x^22 + x^33 - x^44 + x^55 + cdots :
boxed Tn = (-1)^n-1,x^nn
Termo geral de ordem (para ):

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