Se sabemos que
, qual é o número mínimo de termos das séries que temos que usar para aproximar
com erro de
?
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que nos pede para aproximar o valor de
usando uma série infinita. A série dada é
. Queremos descobrir qual é o número mínimo de termos dessa série que precisamos somar para que o erro nessa aproximação seja menor que
(ou seja, 0,01). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries alternadas e como estimar erros nessas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série que temos aqui:
. Essa é uma série alternada porque os sinais dos termos vão alternando entre positivo e negativo. Por exemplo, os primeiros termos são
. Além disso, os valores absolutos dos termos
estão diminuindo conforme n aumenta.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre como estimar o erro quando usamos uma série infinita para aproximar um valor. No caso das séries alternadas que têm termos decrescentes e que tendem a zero, existe um teorema chamado Teorema de Leibniz. Esse teorema nos diz que o erro ao aproximar a soma da série usando os primeiros N termos é, no máximo, igual ao valor do primeiro termo que a gente deixou de somar. Ou seja, se somarmos até o termo N, o erro será no máximo
.
Passo 4
Vamos aplicar o Teorema de Leibniz para encontrar o número mínimo de termos necessários. Queremos que o erro seja menor que
, então devemos ter:
Agora, resolvendo essa desigualdade para N:
Como N deve ser um número inteiro, o menor valor que satisfaz essa condição é N = 100.
Resposta
O número mínimo de termos necessários para aproximar
com erro menor que
é 100 termos.