Se sabemos que ln (2)=sumn=1^infty (-1)^n-1n, qual é o número mínimo de termos das séries que temos que usar para aproximar ln (2) com erro de 10^-2?

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que nos pede para aproximar o valor de ln(2) usando uma série infinita. A série dada é ln(2) = sumn=1^infty (-1)^n-1n . Queremos descobrir qual é o número mínimo de termos dessa série que precisamos somar para que o erro nessa aproximação seja menor que 10^-2 (ou seja, 0,01). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries alternadas e como estimar erros nessas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos aqui: sumn=1^infty (-1)^n-1n . Essa é uma série alternada porque os sinais dos termos vão alternando entre positivo e negativo. Por exemplo, os primeiros termos são 1 - 12 + 13 - 14 + dots . Além disso, os valores absolutos dos termos 1n estão diminuindo conforme n aumenta.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre como estimar o erro quando usamos uma série infinita para aproximar um valor. No caso das séries alternadas que têm termos decrescentes e que tendem a zero, existe um teorema chamado Teorema de Leibniz. Esse teorema nos diz que o erro ao aproximar a soma da série usando os primeiros N termos é, no máximo, igual ao valor do primeiro termo que a gente deixou de somar. Ou seja, se somarmos até o termo N, o erro será no máximo 1N+1 .

Passo 4

Vamos aplicar o Teorema de Leibniz para encontrar o número mínimo de termos necessários. Queremos que o erro seja menor que 10^-2 , então devemos ter:
1N+1 < 10^-2
Agora, resolvendo essa desigualdade para N:
1N+1 < 0,01 Rightarrow N+1 > 10,01 Rightarrow N+1 > 100 Rightarrow N > 99
Como N deve ser um número inteiro, o menor valor que satisfaz essa condição é N = 100.

Resposta

O número mínimo de termos necessários para aproximar ln(2) com erro menor que 10^-2 é 100 termos.

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