Escreva os cinco primeiros termos da seqüência, determine se ela converge e, se isso acontecer, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede (i) os cinco primeiros termos, (ii) verificar se ela converge e (iii) encontrar o limite, caso exista. Iremos calcular diretamente os termos e depois usar o comportamento assintótico de funções racionais para decidir a convergência.
Passo 2
Vamos calcular
para
.
Para :
Para
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 3
Para estudar a convergência de
lembre-se de que, se temos uma sequência da forma
com
e
polinômios, o limite quando
é determinado pelos graus de
e
:
- Se
, então . - Se
, então tende à razão dos coeficientes principais. - Se
, então .
Aqui
e
, logo esperamos
.
Passo 4
Formalizando o comportamento assintótico, divida numerador e denominador por
:
Ao fazer
, o termo
vai a zero, de modo que
Portanto a sequência não converge a um valor finito, ela diverge para
.
Resposta
Os cinco primeiros termos são
A sequência diverge, pois