Escreva os cinco primeiros termos da seqüência, determine se ela converge e, se isso acontecer, encontre o limite.
\left\{\frac{n^{2}}{2 n+1}\right\}_{n=1}^{+\infty}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_n = \frac{n^2}{2n+1},\quad n=1,2,3,\dots
e pede (i) os cinco primeiros termos, (ii) verificar se ela converge e (iii) encontrar o limite, caso exista. Iremos calcular diretamente os termos e depois usar o comportamento assintótico de funções racionais para decidir a convergência.

Passo 2

Vamos calcular a_n para n=1,2,3,4,5.
Para n=1:
a_1 = \frac{1^2}{2\cdot1 + 1} = \frac{1}{3}.
Para n=2:
a_2 = \frac{2^2}{2\cdot2 + 1} = \frac{4}{5}.
Para n=3:
a_3 = \frac{3^2}{2\cdot3 + 1} = \frac{9}{7}.
Para n=4:
a_4 = \frac{4^2}{2\cdot4 + 1} = \frac{16}{9}.
Para n=5:
a_5 = \frac{5^2}{2\cdot5 + 1} = \frac{25}{11}.

Passo 3

Para estudar a convergência de
a_n = \frac{n^2}{2n+1},
lembre-se de que, se temos uma sequência da forma \frac{P(n)}{Q(n)} com P e Q polinômios, o limite quando n\to\infty é determinado pelos graus de P e Q:
  • Se \deg P > \deg Q, então a_n\to+\infty.
  • Se \deg P = \deg Q, então a_n tende à razão dos coeficientes principais.
  • Se \deg P < \deg Q, então a_n\to0.
Aqui \deg P=2 e \deg Q=1, logo esperamos \lim_{n\to\infty}a_n=+\infty.

Passo 4

Formalizando o comportamento assintótico, divida numerador e denominador por n:
a_n = \frac{n^2}{2n+1} = \frac{n^2/n}{(2n+1)/n} = \frac{n}{2 + \tfrac1n}.
Ao fazer n\to\infty, o termo \tfrac1n vai a zero, de modo que
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2 + \tfrac1n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2} = +\infty.
Portanto a sequência não converge a um valor finito, ela diverge para +\infty.

Resposta

Os cinco primeiros termos são
\frac{1}{3},\;\frac{4}{5},\;\frac{9}{7},\;\frac{16}{9},\;\frac{25}{11}.
A sequência diverge, pois
\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2n+1} = +\infty.

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