Escreva os cinco primeiros termos da seqüência, determine se ela converge e, se isso acontecer, encontre o limite.
\left\{\ln \left(\frac{1}{n}\right)\right\}_{n=1}^{+\infty}

Passo 1

O enunciado pede para escrever os cinco primeiros termos da sequência
\{\ln\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)\}_{n=1}^{+\infty},
verificar se ela converge e, em caso afirmativo, encontrar o limite. O conteúdo aqui é estudo de sequência numérica e cálculo de limite.

Passo 2

O termo geral é
a_n = \ln\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr).
Para os cinco primeiros valores de n temos
a_1 = \ln\!\bigl(\tfrac{1}{1}\bigr)=\ln(1)=0,
a_2 = \ln\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=-\ln(2),
a_3 = \ln\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)=-\ln(3),
a_4 = \ln\!\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=-\ln(4),
a_5 = \ln\!\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr)=-\ln(5).

Passo 3

Para entender o comportamento quando n\to\infty, note que
\ln\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) = -\ln(n).
Como \ln(n)\to +\infty quando n\to\infty, segue que
-\ln(n)\to -\infty.

Passo 4

Logo, a sequência não converge para um número real finito; ela diverge, indo para -\infty.

Resposta

Os cinco primeiros termos são
0,\,-\ln(2),\,-\ln(3),\,-\ln(4),\,-\ln(5).
A sequência diverge (não converge para valor finito) e, no sentido estendido, tende a
-\infty.

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