Escreva os cinco primeiros termos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma sequência definida por
. O que a gente precisa fazer é:
- Escrever os cinco primeiros termos dessa sequência.
- Verificar se a sequência é convergente (ou seja, se ela chega num certo número quando
tende ao infinito) ou divergente. - Se for convergente, encontrar qual é esse limite.
Para isso, vamos usar conhecimentos de sequências e limites matemáticos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os cinco primeiros termos da sequência substituindo
por 1, 2, 3, 4 e 5 na expressão
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, os cinco primeiros termos são: 2, 1, 0,8, aproximadamente 0,714 e aproximadamente 0,666.
Passo 3
Agora, vamos analisar se a sequência é convergente ou divergente. Uma sequência é convergente se ela se aproxima de um valor específico quando
aumenta indefinidamente. Se não, ela é divergente.
Para descobrir isso, vamos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito. A fórmula para o limite de uma fração onde o grau do numerador e do denominador são iguais (ambos de grau 1) é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Passo 4
Aplicando essa regra, temos:
Ou seja, conforme
cresce, os termos da sequência se aproximam de
.
Resposta
A sequência
é convergente, e o seu limite é
.