Escreva os cinco primeiros termos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
2 n^2+13 n^2-n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever os cinco primeiros termos de uma sequência e descobrir se ela converge ou diverge. Se convergir, a gente também precisa achar o limite dessa sequência. A sequência que estamos lidando é:
2n^2+13n^2-n
Para resolver isso, vamos precisar calcular os valores da sequência para os primeiros cinco valores de n e depois analisar o comportamento quando n cresce sem limites, usando conceitos de limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os cinco primeiros termos da sequência substituindo n por 1, 2, 3, 4 e 5 na expressão dada.
Para n = 1 :
a1 = 2(1)^2 + 13(1)^2 - 1 = 2 + 13 - 1 = 32 = 1,5

Passo 3

Para n = 2 :
a2 = 2(2)^2 + 13(2)^2 - 2 = 8 + 112 - 2 = 910 = 0,9

Passo 4

Para n = 3 :
a3 = 2(3)^2 + 13(3)^2 - 3 = 18 + 127 - 3 = 1924 approx 0,7917

Passo 5

Para n = 4 :
a4 = 2(4)^2 + 13(4)^2 - 4 = 32 + 148 - 4 = 3344 approx 0,75

Passo 6

Para n = 5 :
a5 = 2(5)^2 + 13(5)^2 - 5 = 50 + 175 - 5 = 5170 approx 0,7286

Passo 7

Agora que temos os cinco primeiros termos, vamos analisar se a sequência é convergente ou divergente. Para isso, vamos calcular o limite da sequência quando n tende ao infinito. A ideia aqui é ver como a expressão se comporta quando n fica muito grande.
A expressão da sequência é:
an = 2n^2+13n^2-n
Quando n cresce, os termos de menor grau (como o 1 no numerador e o -n no denominador) se tornam menos importantes comparados aos termos com n^2 . Então, podemos simplificar observando apenas os coeficientes dos termos de maior grau:
limn to infty 2n^2+13n^2-n approx limn to infty 2n^23n^2 = 23

Resposta

Os cinco primeiros termos da sequência são aproximadamente 1,5; 0,9; 0,7917; 0,75 e 0,7286. A sequência é convergente e o seu limite é 23.

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