Escreva os cinco primeiros termos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever os cinco primeiros termos de uma sequência e descobrir se ela converge ou diverge. Se convergir, a gente também precisa achar o limite dessa sequência. A sequência que estamos lidando é:
Para resolver isso, vamos precisar calcular os valores da sequência para os primeiros cinco valores de
e depois analisar o comportamento quando
cresce sem limites, usando conceitos de limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os cinco primeiros termos da sequência substituindo
por 1, 2, 3, 4 e 5 na expressão dada.
Para
:
Passo 3
Para
:
Passo 4
Para
:
Passo 5
Para
:
Passo 6
Para
:
Passo 7
Agora que temos os cinco primeiros termos, vamos analisar se a sequência é convergente ou divergente. Para isso, vamos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito. A ideia aqui é ver como a expressão se comporta quando
fica muito grande.
A expressão da sequência é:
Quando
cresce, os termos de menor grau (como o 1 no numerador e o
no denominador) se tornam menos importantes comparados aos termos com
. Então, podemos simplificar observando apenas os coeficientes dos termos de maior grau:
Resposta
Os cinco primeiros termos da sequência são aproximadamente 1,5; 0,9; 0,7917; 0,75 e 0,7286. A sequência é convergente e o seu limite é
.