Seja S a semiesfera
z=raiz1-(x^2+y^2)
Calcule a integral
integralegral duplaS(x^2+y^2-z^3+z) d S
utilizando o Teorema da Divergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a integral de superfície
integral duplaS(x^2+y^2-z^3+z) d S
sobre a semiesfera
z=raiz1 - (x^2+y^2)
Vamos usar o Teorema da Divergência para facilitar a resolução. Esse teorema nos ajuda a relacionar integrais de superfície com integrais de volume, o que geralmente simplifica os cálculos.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é o Teorema da Divergência. Ele diz que para um campo vetorial F contínuo em um volume V com fronteira S, temos:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Ou seja, a integral de superfície do fluxo de F através de S é igual à integral de volume da divergência de F sobre V.

Passo 3

Nosso objetivo é expressar a integral dada em termos do teorema. Para isso, precisamos identificar um campo vetorial F tal que:
F cdot n = x^2 + y^2 - z^3 + z
Uma escolha conveniente é tomar F como um campo cuja divergência nos dê a expressão dentro da integral. Vamos escolher:
F = (x^3/3, y^3/3, z^2/2 + z^2/2)
Mas para simplificar, vamos ajustar nossa escolha de F de modo que a divergência seja x^2 + y^2 - z^3 + z. Vamos definir:
F = ( x^33, y^33, -z^44 + z^22 )
Assim, a divergência de F será:
nabla cdot F = x^2 + y^2 - z^3 + z

Passo 4

Agora que temos o campo vetorial F correto, podemos aplicar o Teorema da Divergência:
integral duplaS (x^2 + y^2 - z^3 + z) , dS = integral triplaV (x^2 + y^2 - z^3 + z) , dV
Portanto, nossa integral de superfície se transforma em uma integral de volume.

Passo 5

Vamos calcular a integral de volume:
integral triplaV (x^2 + y^2 - z^3 + z) , dV
Nosso volume V é a semiesfera definida por z >= 0 e x^2 + y^2 + z^2 <= 1. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas.
Em coordenadas esféricas:
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi
O elemento de volume é:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Como estamos na semiesfera superior, phi varia de 0 a pi/2, theta de 0 a 2pi, e rho de 0 a 1.

Passo 6

Vamos reescrever a função dentro da integral em coordenadas esféricas:
x^2 + y^2 = rho^2 sin^2phi
z = rho cosphi
z^3 = (rho cosphi)^3 = rho^3 cos^3phi
Portanto, a função fica:
x^2 + y^2 - z^3 + z = rho^2 sin^2phi - rho^3 cos^3phi + rho cosphi

Passo 7

Agora substituímos tudo na integral:
integral triplaV ( rho^2 sin^2phi - rho^3 cos^3phi + rho cosphi ) cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando:
integral0^2pi integral0^pi/2 integral0^1 ( rho^4 sin^3phi - rho^5 cos^3phi sinphi + rho^3 cosphi sinphi ) drho , dphi , dtheta

Passo 8

Vamos resolver a integral em rho primeiro:
integral0^1 rho^4 sin^3phi , drho = sin^3phi cdot [rho^55]0^1 = sin^3phi5
integral0^1 rho^5 cos^3phi sinphi , drho = cos^3phi sinphi cdot [rho^66]0^1 = cos^3phi sinphi6
integral0^1 rho^3 cosphi sinphi , drho = cosphi sinphi cdot [rho^44]0^1 = cosphi sinphi4

Passo 9

Substituindo de volta na integral:
integral0^2pi integral0^pi/2 ( sin^3phi5 - cos^3phi sinphi6 + cosphi sinphi4 ) dphi , dtheta
Integrando em phi:
integral0^pi/2 sin^3phi5 , dphi = 215
integral0^pi/2 cos^3phi sinphi6 , dphi = 124
integral0^pi/2 cosphi sinphi4 , dphi = 18

Passo 10

Somando as integrais:
215 - 124 + 18 = 16120 - 5120 + 15120 = 26120 = 1360
Agora, integrando em theta:
integral0^2pi 1360 , dtheta = 1360 cdot 2pi = 13pi30

Resposta

A integral de superfície vale dfrac13,pi30.

Exercícios relacionados