Seja
a semiesfera
Calcule a integral
utilizando o Teorema da Divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a integral de superfície
sobre a semiesfera
Vamos usar o Teorema da Divergência para facilitar a resolução. Esse teorema nos ajuda a relacionar integrais de superfície com integrais de volume, o que geralmente simplifica os cálculos.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é o Teorema da Divergência. Ele diz que para um campo vetorial
contínuo em um volume
com fronteira
, temos:
Ou seja, a integral de superfície do fluxo de
através de
é igual à integral de volume da divergência de
sobre
.
Passo 3
Nosso objetivo é expressar a integral dada em termos do teorema. Para isso, precisamos identificar um campo vetorial
tal que:
Uma escolha conveniente é tomar
como um campo cuja divergência nos dê a expressão dentro da integral. Vamos escolher:
Mas para simplificar, vamos ajustar nossa escolha de
de modo que a divergência seja
. Vamos definir:
Assim, a divergência de
será:
Passo 4
Agora que temos o campo vetorial
correto, podemos aplicar o Teorema da Divergência:
Portanto, nossa integral de superfície se transforma em uma integral de volume.
Passo 5
Vamos calcular a integral de volume:
Nosso volume
é a semiesfera definida por
e
. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas.
Em coordenadas esféricas:
O elemento de volume é:
Como estamos na semiesfera superior,
varia de 0 a
,
de 0 a
, e
de 0 a 1.
Passo 6
Vamos reescrever a função dentro da integral em coordenadas esféricas:
Portanto, a função fica:
Passo 7
Agora substituímos tudo na integral:
Simplificando:
Passo 8
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Passo 9
Substituindo de volta na integral:
Integrando em
:
Passo 10
Somando as integrais:
Agora, integrando em
:
Resposta
A integral de superfície vale
.