Escreva os cinco primeiros termos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever os cinco primeiros termos de uma sequência e descobrir se ela converge (acaba chegando perto de um número específico) ou diverge (não se estabiliza). Para isso, vamos usar conhecimentos de sequências numéricas e limites. Precisamos calcular os termos da sequência e analisar o comportamento dela quando o termo geral tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da sequência que é dado por:
Isso significa que, para qualquer número inteiro positivo
, podemos encontrar o valor correspondente da sequência substituindo
na fórmula.
Passo 3
Vamos calcular os cinco primeiros termos da sequência substituindo
na expressão do termo geral.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Então, os cinco primeiros termos são aproximadamente: 1,33; 2,5; 3,90; 5,36; 6,84.
Passo 4
Agora, vamos ver se a sequência converge ou diverge. Para isso, vamos analisar o limite da sequência quando
tende ao infinito.
O termo geral é:
Quando
fica bem grande, os termos com maior potência de
dominam a expressão. Ou seja,
no numerador e
no denominador são os que mais influenciam o valor da fração.
Podemos simplificar a expressão dividindo cada termo por
, que é a maior potência presente no denominador:
Agora, vamos analisar cada parte:
-
cresce sem limites quando aumenta. -
e tendem a zero quando vai para o infinito.
Então, a expressão simplifica para:
Isso significa que, conforme
aumenta,
também cresce sem parar.
Resposta
Os cinco primeiros termos da sequência são aproximadamente 1,33; 2,5; 3,90; 5,36; 6,84. A sequência diverge, pois seus termos aumentam sem limites conforme
tende ao infinito e não possuem um limite finito.