Escreva os cinco primeiros termos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
3 n^3+12 n^2+n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever os cinco primeiros termos de uma sequência e descobrir se ela converge (acaba chegando perto de um número específico) ou diverge (não se estabiliza). Para isso, vamos usar conhecimentos de sequências numéricas e limites. Precisamos calcular os termos da sequência e analisar o comportamento dela quando o termo geral tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da sequência que é dado por:
an = 3n^3 + 12n^2 + n
Isso significa que, para qualquer número inteiro positivo n , podemos encontrar o valor correspondente da sequência substituindo n na fórmula.

Passo 3

Vamos calcular os cinco primeiros termos da sequência substituindo n = 1, 2, 3, 4, 5 na expressão do termo geral.
Para n = 1 :
a1 = 3(1)^3 + 12(1)^2 + 1 = 3 + 12 + 1 = 43 approx 1,33
Para n = 2 :
a2 = 3(2)^3 + 12(2)^2 + 2 = 3 times 8 + 18 + 2 = 24 + 110 = 2510 = 2,5
Para n = 3 :
a3 = 3(3)^3 + 12(3)^2 + 3 = 3 times 27 + 118 + 3 = 81 + 121 = 8221 approx 3,90
Para n = 4 :
a4 = 3(4)^3 + 12(4)^2 + 4 = 3 times 64 + 132 + 4 = 192 + 136 = 19336 approx 5,36
Para n = 5 :
a5 = 3(5)^3 + 12(5)^2 + 5 = 3 times 125 + 150 + 5 = 375 + 155 = 37655 approx 6,84
Então, os cinco primeiros termos são aproximadamente: 1,33; 2,5; 3,90; 5,36; 6,84.

Passo 4

Agora, vamos ver se a sequência converge ou diverge. Para isso, vamos analisar o limite da sequência quando n tende ao infinito.
O termo geral é:
an = 3n^3 + 12n^2 + n
Quando n fica bem grande, os termos com maior potência de n dominam a expressão. Ou seja, 3n^3 no numerador e 2n^2 no denominador são os que mais influenciam o valor da fração.
Podemos simplificar a expressão dividindo cada termo por n^2 , que é a maior potência presente no denominador:
limn to infty 3n^3 + 12n^2 + n = limn to infty 3n^3/n^2 + 1/n^22n^2/n^2 + n/n^2 = limn to infty 3n + 1n^22 + 1n
Agora, vamos analisar cada parte:
  • 3n cresce sem limites quando n aumenta.
  • 1n^2 e 1n tendem a zero quando n vai para o infinito.
Então, a expressão simplifica para:
limn to infty 3n2 = infty
Isso significa que, conforme n aumenta, an também cresce sem parar.

Resposta

Os cinco primeiros termos da sequência são aproximadamente 1,33; 2,5; 3,90; 5,36; 6,84. A sequência diverge, pois seus termos aumentam sem limites conforme n tende ao infinito e não possuem um limite finito.

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