Escreva os cinco primeiros termos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer duas coisas: primeiro, escrever os cinco primeiros termos da sequência dada, que é
. Depois, vamos descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de algum número quando n fica grande) ou diverge. Se convergir, a gente também vai achar qual é esse limite. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre sequências e limites.
Passo 2
Vamos começar calculando os cinco primeiros termos da sequência. Isso significa substituir os valores de n por 1, 2, 3, 4 e 5 na expressão
.
Para
:
Aqui, temos uma divisão por zero, o que é indefinido. Então, vamos pular
e começar a partir de
.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Então, os cinco primeiros termos da sequência (a partir de
) são:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa sequência converge ou diverge. Para isso, precisamos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito. A ideia é ver para onde os termos estão se aproximando conforme
fica cada vez maior.
Dada a sequência:
Vamos dividir o numerador e o denominador por
, que é a maior potência de
presente na expressão:
Quando
tende ao infinito,
e
tendem a zero. Então, a expressão simplifica para:
Isso significa que, conforme
fica muito grande, os termos da sequência se aproximam de
.
Resposta
A sequência é convergente e seu limite é
.