Escreva os cinco primeiros termos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
3-2 n^2n^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer duas coisas: primeiro, escrever os cinco primeiros termos da sequência dada, que é 3-2 n^2n^2-1. Depois, vamos descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de algum número quando n fica grande) ou diverge. Se convergir, a gente também vai achar qual é esse limite. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre sequências e limites.

Passo 2

Vamos começar calculando os cinco primeiros termos da sequência. Isso significa substituir os valores de n por 1, 2, 3, 4 e 5 na expressão 3-2 n^2n^2-1.
Para n = 1:
3 - 2(1)^2(1)^2 - 1 = 3 - 21 - 1 = 10
Aqui, temos uma divisão por zero, o que é indefinido. Então, vamos pular n = 1 e começar a partir de n = 2.
Para n = 2:
3 - 2(2)^2(2)^2 - 1 = 3 - 84 - 1 = -53
Para n = 3:
3 - 2(3)^2(3)^2 - 1 = 3 - 189 - 1 = -158
Para n = 4:
3 - 2(4)^2(4)^2 - 1 = 3 - 3216 - 1 = -2915
Para n = 5:
3 - 2(5)^2(5)^2 - 1 = 3 - 5025 - 1 = -4724
Então, os cinco primeiros termos da sequência (a partir de n = 2) são:
-53, -158, -2915, -4724, -7535

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa sequência converge ou diverge. Para isso, precisamos calcular o limite da sequência quando n tende ao infinito. A ideia é ver para onde os termos estão se aproximando conforme n fica cada vez maior.
Dada a sequência:
3 - 2n^2n^2 - 1
Vamos dividir o numerador e o denominador por n^2, que é a maior potência de n presente na expressão:
3n^2 - 21 - 1n^2
Quando n tende ao infinito, 3n^2 e 1n^2 tendem a zero. Então, a expressão simplifica para:
0 - 21 - 0 = -21 = -2
Isso significa que, conforme n fica muito grande, os termos da sequência se aproximam de -2.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é -2.

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