Escreva os cinco primeiros termos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para a gente escrever os cinco primeiros termos da sequência
e descobrir se essa sequência converge (tem um limite) ou diverge (não tem limite). Para resolver isso, vamos precisar saber calcular potências e compreender o que significa uma sequência convergir ou divergir.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os cinco primeiros termos da sequência
. Aqui,
é a constante de Euler, aproximadamente 2,71828. Vamos substituir
por 1, 2, 3, 4 e 5.
- Para
:
Passo 3
- Para
:
Passo 4
- Para
:
Passo 5
- Para
:
Passo 6
- Para
:
Passo 7
Agora que temos os cinco primeiros termos: aproximadamente 2,71828; 3,69453; 6,69517; 13,64955; e 29,6826, percebemos que os valores estão aumentando conforme
cresce.
Passo 8
Para determinar se a sequência converge ou diverge, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Sabemos que
cresce de forma exponencial, ou seja, muito mais rápido que qualquer função polinomial como
.
Passo 9
Matematicamente, podemos avaliar o limite:
Como
cresce muito mais rápido que
, o limite tende ao infinito.
Passo 10
Portanto, a sequência
não converge; ela diverge para o infinito.
Resposta
Os cinco primeiros termos da sequência são aproximadamente 2,71828; 3,69453; 6,69517; 13,64955; e 29,6826. A sequência diverge, ou seja, não tem limite.