Escreva os cinco primeiros termos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
ln (n)n^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever os cinco primeiros termos da sequência ln (n)n^2 e descobrir se essa sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também encontra o limite. Para isso, vamos precisar calcular alguns valores e entender um pouquinho sobre limites.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os cinco primeiros termos da sequência. Isso significa calcular ln(n)n^2 para n = 1, 2, 3, 4, 5.
  • Para n = 1:
a1 = ln(1)1^2 = 01 = 0
Porque ln(1) = 0.
  • Para n = 2:
a2 = ln(2)2^2 approx 0,69314 approx 0,1733
  • Para n = 3:
a3 = ln(3)3^2 approx 1,09869 approx 0,1221
  • Para n = 4:
a4 = ln(4)4^2 approx 1,386316 approx 0,0866
  • Para n = 5:
a5 = ln(5)5^2 approx 1,609425 approx 0,0644
Então, os cinco primeiros termos são aproximadamente: 0, 0,1733, 0,1221, 0,0866 e 0,0644.

Passo 3

Agora, vamos ver se essa sequência converge ou diverge. Para isso, a gente analisa o comportamento de ln(n)n^2 quando n cresce para infinito.
Sabemos que ln(n) cresce, mas bem mais devagar que n^2. Para entender melhor, vamos calcular o limite dessa fração quando n vai para o infinito.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
limn to infty ln(n)n^2
Quando temos uma expressão que resulta em “ infty/infty”, podemos usar a Regra de L’Hôpital. Isso significa que derivamos o numerador e o denominador separadamente e recalculamos o limite.
Derivando:
  • Derivada de ln(n) é 1n.
  • Derivada de n^2 é 2n.
Então, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
limn to infty 1n2n = limn to infty 12n^2 = 0
Porque, conforme n cresce, 12n^2 tende a 0.

Passo 5

Como o limite da sequência é 0, isso significa que a sequência ln (n)n^2 é convergente e seu limite é 0.

Resposta

Os cinco primeiros termos da sequência são aproximadamente 0, 0,1733, 0,1221, 0,0866 e 0,0644. A sequência é convergente e seu limite é 0.

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