Escreva os cinco primeiros termos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever os cinco primeiros termos da sequência
e descobrir se essa sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também encontra o limite. Para isso, vamos precisar calcular alguns valores e entender um pouquinho sobre limites.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os cinco primeiros termos da sequência. Isso significa calcular
para
.
- Para
:
Porque
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, os cinco primeiros termos são aproximadamente: 0, 0,1733, 0,1221, 0,0866 e 0,0644.
Passo 3
Agora, vamos ver se essa sequência converge ou diverge. Para isso, a gente analisa o comportamento de
quando
cresce para infinito.
Sabemos que
cresce, mas bem mais devagar que
. Para entender melhor, vamos calcular o limite dessa fração quando
vai para o infinito.
Passo 4
Vamos calcular o limite:
Quando temos uma expressão que resulta em “
”, podemos usar a Regra de L’Hôpital. Isso significa que derivamos o numerador e o denominador separadamente e recalculamos o limite.
Derivando:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Então, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
Porque, conforme
cresce,
tende a 0.
Passo 5
Como o limite da sequência é 0, isso significa que a sequência
é convergente e seu limite é 0.
Resposta
Os cinco primeiros termos da sequência são aproximadamente 0, 0,1733, 0,1221, 0,0866 e 0,0644. A sequência é convergente e seu limite é 0.