Escreva os cinco primeiros termos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever os cinco primeiros termos da sequência
e descobrir se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também vai achar o limite dela. Vamos usar conhecimentos de sequências e funções trigonométricas para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os cinco primeiros termos da sequência. Para isso, substituímos
por 1, 2, 3, 4 e 5 na expressão da sequência.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora que temos os cinco primeiros termos, vamos listá-los:
Passo 4
Para determinar se a sequência é convergente ou divergente, precisamos analisar o comportamento dela quando
tende ao infinito. Observando a expressão da sequência:
Sabemos que
tende a 1 conforme
aumenta. Porém, a função seno,
, oscila entre 1, 0, -1 e 0, dependendo do valor de
. Isso significa que a sequência não se aproxima de um único valor, mas continua alternando entre valores positivos, negativos e zero.
Passo 5
Como a sequência não se aproxima de um único número quando
aumenta, ela não tem um limite definido. Portanto, a sequência é divergente.
Resposta
Os cinco primeiros termos da sequência são
. A sequência é divergente, ou seja, não converge para nenhum limite.