Escreva os cinco primeiros termos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
nn+1 sen(n pi2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever os cinco primeiros termos da sequência nn+1 sen(n pi2) e descobrir se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também vai achar o limite dela. Vamos usar conhecimentos de sequências e funções trigonométricas para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os cinco primeiros termos da sequência. Para isso, substituímos n por 1, 2, 3, 4 e 5 na expressão da sequência.
Para n = 1:
11+1 cdot sen(1 cdot pi2) = 12 cdot sen(pi2) = 12 cdot 1 = 12
Para n = 2:
22+1 cdot sen(2 cdot pi2) = 23 cdot sen(pi) = 23 cdot 0 = 0
Para n = 3:
33+1 cdot sen(3 cdot pi2) = 34 cdot sen(3pi2) = 34 cdot (-1) = -34
Para n = 4:
44+1 cdot sen(4 cdot pi2) = 45 cdot sen(2pi) = 45 cdot 0 = 0
Para n = 5:
55+1 cdot sen(5 cdot pi2) = 56 cdot sen(5pi2) = 56 cdot 1 = 56

Passo 3

Agora que temos os cinco primeiros termos, vamos listá-los:
12, 0, -34, 0, 56

Passo 4

Para determinar se a sequência é convergente ou divergente, precisamos analisar o comportamento dela quando n tende ao infinito. Observando a expressão da sequência:
nn+1 cdot sen(n pi2)
Sabemos que nn+1 tende a 1 conforme n aumenta. Porém, a função seno, sen(n pi2), oscila entre 1, 0, -1 e 0, dependendo do valor de n. Isso significa que a sequência não se aproxima de um único valor, mas continua alternando entre valores positivos, negativos e zero.

Passo 5

Como a sequência não se aproxima de um único número quando n aumenta, ela não tem um limite definido. Portanto, a sequência é divergente.

Resposta

Os cinco primeiros termos da sequência são 12, 0, -34, 0, 56. A sequência é divergente, ou seja, não converge para nenhum limite.

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