Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números reais
tal que
é dado e, para todo
, tem-se
onde
é um número real fixo, diferente de 0 e 1 , chamado razão.
Se
, mostre que
Se
Passo 1
O enunciado define uma progressão geométrica em que o primeiro termo é
e a razão é
, isto é, para todo
vale
Queremos mostrar a fórmula da soma dos
primeiros termos,
O conteúdo aqui é a técnica de “multiplicar e subtrair” para somas de progressões geométricas.
Passo 2
Escrevemos explicitamente a soma
em termos de
e de potências de
:
Passo 3
Multiplicamos essa igualdade por
, obtendo:
Passo 4
Subtraímos a primeira linha da segunda:
Observe que os termos intermediários cancelam, sobrando
Passo 5
Bastou isolar
dividindo por
: