Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números reais (an)n in N tal que a1 é dado e, para todo n in N, tem-se
an+1=an q
onde r é um número real fixo, diferente de 0 e 1 , chamado razão.
Se Sn=a1+ldots+an, mostre que
Sn=a1 q^n-1q-1

Passo 1

O enunciado define uma progressão geométrica em que o primeiro termo é a1 e a razão é q, isto é, para todo n>=1 vale
an+1=an,q
Queremos mostrar a fórmula da soma dos n primeiros termos,
Sn=a1+a2+cdots+an é Sn=a1,q^n-1q-1 é
O conteúdo aqui é a técnica de “multiplicar e subtrair” para somas de progressões geométricas.

Passo 2

Escrevemos explicitamente a soma Sn em termos de a1 e de potências de q:
Sn = a1 + a1q + a1q^2 + cdots + a1q^n-1

Passo 3

Multiplicamos essa igualdade por q, obtendo:
q,Sn = a1q + a1q^2 + cdots + a1q^n-1 + a1q^n

Passo 4

Subtraímos a primeira linha da segunda:
q,Sn - Sn = l(a1q + a1q^2 + cdots + a1q^nr) - l(a1 + a1q + cdots + a1q^n-1r)
Observe que os termos intermediários cancelam, sobrando
(q-1),Sn = a1q^n - a1 = a1,l(q^n-1r)

Passo 5

Bastou isolar Sn dividindo por (q-1):
Sn = a1,q^n-1q-1

Resposta

Sn=a1,q^n-1q-1

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