Escreva B como combinação linear das outras matrizes, se possível.
6. B=\left[\begin{array}{rr}2 & 3 \\\\ -4 & 2\end{array}\right], \quad A_{1}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right], \quad A_{2}=\left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right], A_{3}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: escrever B como combinação linear de A_{1},A_{2},A_{3}, se possível. As matrizes fornecidas são:
B=\begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] -4 & 2\end{pmatrix}, \qquad A_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad A_{2}=\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}, \qquad A_{3}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  1. Temos exatamente as quatro matrizes acima e queremos números escalares (coeficientes) que combinem A_{1},A_{2},A_{3} para obter B.
  2. A igualdade de matrizes significa igualdade entrada a entrada (cada posição correspondente deve ser igual).
  3. Não foi imposto nenhum método específico; vamos buscar escalares x,y,z tais que a combinação linear exista.]

Passo 2

Vamos formalizar a incógnita: seja x,y,z os escalares procurados, tentando escrever
xA_{1}+yA_{2}+zA_{3}=B.
Explico por que isso é suficiente: duas matrizes M e N são iguais se, e somente se, cada elemento na mesma posição for igual. Então podemos somar as matrizes multiplicadas por escalares e depois igualar cada uma das quatro entradas resultantes às entradas correspondentes de B.

Passo 3

Calcule a combinação xA_{1}+yA_{2}+zA_{3} entrada a entrada. Primeiro escrevendo a soma:
xA_{1}+yA_{2}+zA_{3} = x\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} + z\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Agora somando as entradas correspondentes (isso é só soma de números em cada posição):
  • entrada (1,1): x + 0\cdot y + 1\cdot z = x+z.
  • entrada (1,2): 0\cdot x + (-1)\cdot y + 1\cdot z = -y+z.
  • entrada (2,1): 0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z = y.
  • entrada (2,2): x + 0\cdot y + 1\cdot z = x+z.
Logo a combinação é
xA_{1}+yA_{2}+zA_{3}=\begin{pmatrix}x+z & -y+z \\[4pt] y & x+z\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora igualamos essa matriz à matriz B\). Igualando entrada a entrada obtemos o sistema de equações: \[\begin{cases} x+z = 2,\\[4pt] -y+z = 3,\\[4pt] y = -4,\\[4pt] x+z = 2. \end{cases}
Observação: a primeira e a quarta equações são a mesma (ambas dizem (x+z=2]), então há três equações efetivas para as três incógnitas.]

Passo 5

Resolva o sistema passo a passo:
Da terceira equação temos diretamente
y = -4.
Substituindo esse y na segunda equação:
-(-4)+z = 3 \quad\Rightarrow\quad 4+z=3 \quad\Rightarrow\quad z=-1.
Agora usamos a primeira equação para obter x:
x+z=2 \quad\Rightarrow\quad x+(-1)=2 \quad\Rightarrow\quad x=3.
Portanto os coeficientes são \,x=3,\; y=-4,\; z=-1.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): calcule
3A_{1}-4A_{2}-1A_{3} = 3\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} -4\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Fazendo as contas entrada a entrada:
  • (1,1): 3-0-1=2.
  • (1,2): 0-4-1= -5 — cuidado, devemos usar sinais corretamente: para (1,2) o termo de A_2 é -1 então -4\cdot(-1)=+4; vamos recompor passo a passo:
    Melhor calcular com a forma já obtida no Passo 3 usando x=3,y=-4,z=-1:
\begin{pmatrix}x+z & -y+z \\[4pt] y & x+z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3+(-1) & -(-4)+(-1) \\[4pt] -4 & 3+(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 4-1 \\[4pt] -4 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] -4 & 2\end{pmatrix},
que é exatamente B. Assim a verificação confirma que os coeficientes estão corretos.]

Passo 7

Comentário final rápido e encorajador: encontramos escalares únicos que funcionam; na prática, tratamos cada matriz como um vetor de quatro componentes e resolvemos um sistema linear simples — essa é a técnica padrão e rápida para usar na prova. Você conseguiu! Respira fundo que agora essa técnica tá na mão.

Resposta

B=3A_{1}-4A_{2}-A_{3}

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