Temos exatamente as quatro matrizes acima e queremos números escalares (coeficientes) que combinem A_{1},A_{2},A_{3} para obter B.
A igualdade de matrizes significa igualdade entrada a entrada (cada posição correspondente deve ser igual).
Não foi imposto nenhum método específico; vamos buscar escalares x,y,z tais que a combinação linear exista.]
Passo 2
Vamos formalizar a incógnita: seja x,y,z os escalares procurados, tentando escrever
xA_{1}+yA_{2}+zA_{3}=B.
Explico por que isso é suficiente: duas matrizes M e N são iguais se, e somente se, cada elemento na mesma posição for igual. Então podemos somar as matrizes multiplicadas por escalares e depois igualar cada uma das quatro entradas resultantes às entradas correspondentes de B.
Passo 3
Calcule a combinação xA_{1}+yA_{2}+zA_{3} entrada a entrada. Primeiro escrevendo a soma:
Agora somando as entradas correspondentes (isso é só soma de números em cada posição):
entrada (1,1): x + 0\cdot y + 1\cdot z = x+z.
entrada (1,2): 0\cdot x + (-1)\cdot y + 1\cdot z = -y+z.
entrada (2,1): 0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z = y.
entrada (2,2): x + 0\cdot y + 1\cdot z = x+z.
Logo a combinação é
xA_{1}+yA_{2}+zA_{3}=\begin{pmatrix}x+z & -y+z \\[4pt] y & x+z\end{pmatrix}.]
Passo 4
Agora igualamos essa matriz à matriz B\). Igualando entrada a entrada obtemos o sistema de equações:
\[\begin{cases} x+z = 2,\\[4pt] -y+z = 3,\\[4pt] y = -4,\\[4pt] x+z = 2. \end{cases}
Observação: a primeira e a quarta equações são a mesma (ambas dizem (x+z=2]), então há três equações efetivas para as três incógnitas.]
Passo 5
Resolva o sistema passo a passo:
Da terceira equação temos diretamente
(1,2): 0-4-1= -5 — cuidado, devemos usar sinais corretamente: para (1,2) o termo de A_2 é -1 então -4\cdot(-1)=+4; vamos recompor passo a passo:
Melhor calcular com a forma já obtida no Passo 3 usando x=3,y=-4,z=-1:
que é exatamente B. Assim a verificação confirma que os coeficientes estão corretos.]
Passo 7
Comentário final rápido e encorajador: encontramos escalares únicos que funcionam; na prática, tratamos cada matriz como um vetor de quatro componentes e resolvemos um sistema linear simples — essa é a técnica padrão e rápida para usar na prova. Você conseguiu! Respira fundo que agora essa técnica tá na mão.