3-a) Escreva cos 3 x+ isen 3 x=e^3 i x=(cos x+ isen x)^3 pela fórmula de Euler, expanda e iguale partes reais e imaginárias para deduzir as identidades
& cos ^3 x=34 cos x+14 cos 3 x & sen^3 x=34 sen x-14 sen 3 x
b) Use o resultado da parte (a) para encontrar uma solução geral de y^prime prime+4 y=cos ^3 x.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
1) Usar a fórmula de Euler
e^3i x = (cos x + i sin x)^3
para expandir e igualar partes real e imaginária, deduzindo as fórmulas de redução
cos^3 x=34cos x+14cos3x, sin^3 x=34sin x-14sin3x
2) Usar a identidade de cos^3x para resolver a EDO
y''+4y=cos^3x
O conteúdo envolvido é a fórmula de Euler e resolução de EDOs lineares com coeficientes constantes por superposição.

Passo 2

Expandimos
(cos x + isin x)^3 =cos^3 x +3icos^2 xsin x -3cos xsin^2 x -isin^3 x
Por outro lado,
e^3ix=cos3x + isin3x
Logo, ao comparar os dois lados, obtemos na parte real e imaginária:

Passo 3

Parte real:
cos3x = cos^3x -3cos xsin^2x
Como sin^2x=1-cos^2x,
cos3x = cos^3x -3cos x(1-cos^2x) =4cos^3x -3cos x
e daí
cos^3x = 3cos x + cos3x4 =34cos x+14cos3x
Parte imaginária:
sin3x = 3cos^2xsin x - sin^3x
Como cos^2x=1-sin^2x,
sin3x =3(1-sin^2x)sin x - sin^3x =3sin x -4sin^3x
e daí
sin^3x = 3sin x - sin3x4 =34sin x-14sin3x

Passo 4

Concluímos as identidades pedidas:
cos^3x=34cos x+14cos3x, sin^3x=34sin x-14sin3x

Passo 5

Para resolver
y''+4y=cos^3x
substituímos a identidade de cos^3x:
y''+4y =34cos x+14cos3x

Passo 6

A solução geral da homogênea y''+4y=0 é
yh = C1cos(2x)+C2sin(2x)

Passo 7

Pela superposição, buscamos uma particular da forma
yp = Acos x + Bsin x + Ccos3x + Dsin3x
Mas como não há termos senoidais senão cos x e cos3x, podemos usar a fórmula direta: para cada forçamento Mcos(kx) a EDO
y''+4y=Mcos(kx) tem particular
yk = M4 - k^2cos(kx)
Aqui temos dois forçamentos:
  • M=tfrac34, k=1 to y1 = tfrac344-1cos x = 14cos x
  • M=tfrac14, k=3 to y3 = tfrac144-9cos3x = -120cos3x
Logo
yp = 14cos x ;-;120cos3x

Passo 8

A solução geral da EDO completa é
y(x) = yh + yp = C1cos(2x) + C2sin(2x) + 14cos x - 120cos3x

Resposta

y(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x) + 14cos x - 120cos3x

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