3-a) Escreva
isen
pela fórmula de Euler, expanda e iguale partes reais e imaginárias para deduzir as identidades
b) Use o resultado da parte (a) para encontrar uma solução geral de
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
) Usar a fórmula de Euler
para expandir e igualar partes real e imaginária, deduzindo as fórmulas de redução
O conteúdo envolvido é a fórmula de Euler e resolução de EDOs lineares com coeficientes constantes por superposição.
Passo 2
Expandimos
Por outro lado,
Logo, ao comparar os dois lados, obtemos na parte real e imaginária:
Passo 3
Parte real:
Como
,
e daí
Parte imaginária:
Como
,
e daí
Passo 4
Concluímos as identidades pedidas:
Passo 5
Para resolver
substituímos a identidade de
:
Passo 6
A solução geral da homogênea
é
Passo 7
Pela superposição, buscamos uma particular da forma
Mas como não há termos senoidais senão
e
, podemos usar a fórmula direta: para cada forçamento
a EDO
tem particular
Aqui temos dois forçamentos:
-
, -
,
Logo
Passo 8
A solução geral da EDO completa é