Escreva a definição e dê um exemplo de:
(e) Conjunto imagem de uma função real de três variáveis reais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para a gente definir e dar um exemplo de conjunto imagem de uma função real de três variáveis reais. Isso tá ligado ao conteúdo de funções de várias variáveis na matemática, e vamos precisar entender o que é o conjunto imagem e como identificar ele para uma função com três entradas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função real de três variáveis reais. Basicamente, é uma regra que associa cada tripla de números reais a um único número real . Por exemplo, é uma função dessas.

Passo 3

Agora, o conjunto imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir quando suas variáveis de entrada variam por todo o domínio. Ou seja, para nossa função , o conjunto imagem vai ser todos os números reais que você consegue obter ao calcular com qualquer combinação de , e reais.

Passo 4

Vamos colocar isso em prática com um exemplo. Vamos considerar a função . Aqui, , e são todas reais.

Passo 5

Para encontrar o conjunto imagem dessa função, vamos pensar nos valores que pode assumir. Como estamos somando quadrados de números reais, cada termo , , é sempre maior ou igual a zero. Então, nunca será negativo.

Passo 6

Além disso, quando , e forem todos zero, temos . E como podemos aumentar , e para fazer crescer sem limites, o conjunto imagem dessa função é todos os números reais maiores ou iguais a zero.

Resposta

O conjunto imagem da função é .

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