Escreva a definição e dê um exemplo de:
(e) Conjunto imagem de uma função real de três variáveis reais.
(e) Conjunto imagem de uma função real de três variáveis reais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para a gente definir e dar um exemplo de conjunto imagem de uma função real de três variáveis reais. Isso tá ligado ao conteúdo de funções de várias variáveis na matemática, e vamos precisar entender o que é o conjunto imagem e como identificar ele para uma função com três entradas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função real de três variáveis reais. Basicamente, é uma regra que associa cada tripla de números reais
a um único número real
. Por exemplo,
é uma função dessas.
Passo 3
Agora, o conjunto imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir quando suas variáveis de entrada variam por todo o domínio. Ou seja, para nossa função
, o conjunto imagem vai ser todos os números reais que você consegue obter ao calcular
com qualquer combinação de
,
e
reais.
Passo 4
Vamos colocar isso em prática com um exemplo. Vamos considerar a função
. Aqui,
,
e
são todas reais.
Passo 5
Para encontrar o conjunto imagem dessa função, vamos pensar nos valores que
pode assumir. Como estamos somando quadrados de números reais, cada termo
,
,
é sempre maior ou igual a zero. Então,
nunca será negativo.
Passo 6
Além disso, quando
,
e
forem todos zero, temos
. E como podemos aumentar
,
e
para fazer
crescer sem limites, o conjunto imagem dessa função é todos os números reais maiores ou iguais a zero.
Resposta
O conjunto imagem da função
é
.