Escreva a definição e dê um exemplo de:
(g) Conjunto imagem de uma função real de
variáveis reais,
.
(g) Conjunto imagem de uma função real de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente definir o conjunto imagem de uma função real de
variáveis reais, onde
pode ser 1, 2, 3, e por aí vai. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função de várias variáveis e o que significa o conjunto imagem dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de
variáveis reais. É basicamente uma regra que associa a cada combinação de
números reais a um único número real. Por exemplo, se
, uma função poderia ser
.
Passo 3
Agora, o conjunto imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de saída que a função pode gerar quando você insere todos os valores possíveis no domínio. Em outras palavras, é o conjunto de todos os resultados que a função pode produzir.
Passo 4
Vamos a um exemplo prático para fixar a ideia. Considere a função de uma variável real
. Aqui,
.
- Domínio: Todos os números reais (
). - Conjunto Imagem: Todos os números reais não negativos, já que qualquer número real ao quadrado é positivo ou zero. Então, o conjunto imagem é
.
Outro exemplo com duas variáveis:
.
- Domínio: Todas as combinações de números reais para
e . - Conjunto Imagem: Todos os números reais, porque para qualquer valor real desejado, podemos escolher
e de forma que dê esse valor.
Resposta
O conjunto imagem de uma função real de
variáveis reais é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir quando consideramos todas as combinações de entradas possíveis nas
variáveis. Por exemplo, para a função
, definida para todas as
, o conjunto imagem é
, ou seja, todos os números reais.