Escreva a definição e dê um exemplo de:
(g) Conjunto imagem de uma função real de n variáveis reais, n ∈ {1, 2, 3, 4, ...}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente definir o conjunto imagem de uma função real de variáveis reais, onde pode ser 1, 2, 3, e por aí vai. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função de várias variáveis e o que significa o conjunto imagem dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de variáveis reais. É basicamente uma regra que associa a cada combinação de números reais a um único número real. Por exemplo, se , uma função poderia ser .

Passo 3

Agora, o conjunto imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de saída que a função pode gerar quando você insere todos os valores possíveis no domínio. Em outras palavras, é o conjunto de todos os resultados que a função pode produzir.

Passo 4

Vamos a um exemplo prático para fixar a ideia. Considere a função de uma variável real . Aqui, .
  • Domínio: Todos os números reais ( ).
  • Conjunto Imagem: Todos os números reais não negativos, já que qualquer número real ao quadrado é positivo ou zero. Então, o conjunto imagem é .
Outro exemplo com duas variáveis: .
  • Domínio: Todas as combinações de números reais para e .
  • Conjunto Imagem: Todos os números reais, porque para qualquer valor real desejado, podemos escolher e de forma que dê esse valor.

Resposta

O conjunto imagem de uma função real de variáveis reais é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir quando consideramos todas as combinações de entradas possíveis nas variáveis. Por exemplo, para a função , definida para todas as , o conjunto imagem é , ou seja, todos os números reais.

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