Escreva as definições precisas para
lim x -infty f(x)=infty e lim x infty f(x)=-infty

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que escrever as definições precisas para dois limites:
lim x -infty f(x) = infty e lim x infty f(x) = -infty
Estamos falando de limites no infinito, que fazem parte do estudo de funções no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função crescer sem limite (ir para mais infinito) ou decrescer sem limite (ir para menos infinito) quando x vai para mais ou menos infinito.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro limite:
lim x -infty f(x) = infty
Isso quer dizer que, conforme x fica cada vez mais negativo (vai para menos infinito), os valores da função f(x) ficam cada vez maiores, sem parar.
A definição precisa disso é: Para todo número real positivo M, existe um número real N tal que, sempre que x < N, então f(x) > M.
Em palavras:
  • Para todo M > 0, existe um N tal que se x for menor que N, então o valor de f(x) será maior que M.

Passo 3

Agora, vamos para o segundo limite:
lim x infty f(x) = -infty
Aqui, significa que, conforme x fica cada vez maior (vai para mais infinito), os valores de f(x) ficam cada vez menores, sem parar.
A definição precisa é: Para todo número real positivo M, existe um número real N tal que, sempre que x > N, então f(x) < -M.
Em outras palavras:
  • Para todo M > 0, existe um N tal que se x for maior que N, então o valor de f(x) será menor que -M.

Resposta

As definições precisas são:
  1. lim x -infty f(x) = infty significa que para todo M > 0, existe um N in R tal que, sempre que x < N, então f(x) > M.
  2. lim x infty f(x) = -infty significa que para todo M > 0, existe um N in R tal que, sempre que x > N, então f(x) < -M.

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