Escreva uma demostração para os seguintes resultados:
Todo intervalo não degenerado é não enumerável.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dado um intervalo não degenerado I (isto é, com extremos a<b), ele não pode ser colocado em bijeção com \mathbb{N}. O conteúdo usado será teoria de infinitos (enumeráveis vs. não enumeráveis) e o argumento diagonal de Cantor.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que o intervalo aberto (0,1)\) é não enumerável. Suponha, por absurdo, que exista uma enumeração \[x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\dots
de todos os pontos de (0,1). Escrevamos cada x_{n} na sua expansão binária
x_{n}=0.x_{n1}x_{n2}x_{n3}\dots,\quad x_{nk}\in\{0,1\}.
Agora construímos um número
y=0.y_{1}y_{2}y_{3}\dots
onde, para cada k,
y_{k}=\begin{cases} 1,&\text{se }x_{kk}=0,\\\\ 0,&\text{se }x_{kk}=1. \end{cases}
Por construção, y\in(0,1)\] e difere de \(x_{k} na k-ésima casa binária, logo y não aparece em nossa enumeração. Isso contradiz a hipótese de que (0,1) seria enumerável. Concluímos que (0,1) é não enumerável.

Passo 3

Agora, seja I qualquer intervalo não degenerado com extremos a<b. Definimos a aplicação
f\colon(0,1)\to I \quad\text{por}\quad f(t)=a+(b-a)\,t.
É fácil verificar que f é bijetora (linear, estritamente crescente, com f(0)=a e f(1)=b). Portanto, (0,1) e I têm o mesmo “tamanho” em termos de cardinalidade.

Passo 4

Como (0,1) é não enumerável e existe bijeção f entre (0,1) e I, segue que I também é não enumerável. Assim, qualquer intervalo não degenerado é não enumerável.

Resposta

Todo intervalo não degenerado é não enumerável.

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