Escreva uma demostração para os seguintes resultados:
Todo intervalo não degenerado é não enumerável.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, dado um intervalo não degenerado I (isto é, com extremos a<b), ele não pode ser colocado em bijeção com \mathbb{N}. O conteúdo usado será teoria de infinitos (enumeráveis vs. não enumeráveis) e o argumento diagonal de Cantor.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que o intervalo aberto (0,1)\) é não enumerável. Suponha, por absurdo, que exista uma enumeração
\[x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\dots
de todos os pontos de (0,1). Escrevamos cada x_{n} na sua expansão binária
Por construção, y\in(0,1)\] e difere de \(x_{k} na k-ésima casa binária, logo y não aparece em nossa enumeração. Isso contradiz a hipótese de que (0,1) seria enumerável. Concluímos que (0,1) é não enumerável.
Passo 3
Agora, seja I qualquer intervalo não degenerado com extremos a<b. Definimos a aplicação
f\colon(0,1)\to I \quad\text{por}\quad f(t)=a+(b-a)\,t.
É fácil verificar que f é bijetora (linear, estritamente crescente, com f(0)=a e f(1)=b). Portanto, (0,1) e I têm o mesmo “tamanho” em termos de cardinalidade.
Passo 4
Como (0,1) é não enumerável e existe bijeção f entre (0,1) e I, segue que I também é não enumerável. Assim, qualquer intervalo não degenerado é não enumerável.