Escreva a derivada direcional de
em
na direção de um vetor unitário
como um limite. Como interpretá-la como taxa de variação? Como interpretá-la geometricamente?
Passo 1
O enunciado pede a expressão da derivada direcional de uma função de duas variáveis em um ponto, na direção de um vetor unitário, usando limite, e depois quer entender essa derivada como taxa de variação e geometricamente. Vamos usar o conceito de limite e a definição de derivada direcional.
Passo 2
Definimos uma função auxiliar unidimensional que segue o deslocamento na direção indicada. Seja
. Então a derivada direcional de
em
na direção de
é
, isto é,
Passo 3
Como taxa de variação, essa expressão mede quanto o valor de
muda por unidade de deslocamento ao longo de
. Se
,
cresce quando nos movemos na direção de
; se for negativo,
decresce.
Passo 4
Geometricamente, podemos ver
como a inclinação (ou coeficiente angular) da reta tangente à curva de interseção entre o gráfico de
e o plano que contém o ponto
e tem direção
. Ele dá o “declive” da superfície nessa direção.
Resposta
A derivada direcional de
em
na direção de
é dada por
Interpretação como taxa de variação: essa derivada indica a variação de
por unidade de comprimento percorrido na direção de
. Quanto maior o valor de
, mais rápido
cresce ao longo de
.
Interpretação geométrica: corresponde à inclinação da reta tangente à curva obtida pela interseção do gráfico de
com o plano que passa por
e se orienta conforme
. Ele mostra o “declive” da superfície naquela direção.