Escreva a derivada direcional de f em (a, b) na direção de um vetor unitário u=(m, n) como um limite. Como interpretá-la como taxa de variação? Como interpretá-la geometricamente?

Passo 1

O enunciado pede a expressão da derivada direcional de uma função de duas variáveis em um ponto, na direção de um vetor unitário, usando limite, e depois quer entender essa derivada como taxa de variação e geometricamente. Vamos usar o conceito de limite e a definição de derivada direcional.

Passo 2

Definimos uma função auxiliar unidimensional que segue o deslocamento na direção indicada. Seja g(t)=f(a+mt,,b+nt). Então a derivada direcional de f em (a,b) na direção de vec u=(m,n) é g'(0), isto é,
Dvec uf(a,b)=limhto0g(h)-g(0)h=limhto0f(a+mh,,b+nh)-f(a,b)h

Passo 3

Como taxa de variação, essa expressão mede quanto o valor de f muda por unidade de deslocamento ao longo de vec u. Se Dvec uf(a,b)>0, f cresce quando nos movemos na direção de vec u; se for negativo, f decresce.

Passo 4

Geometricamente, podemos ver Dvec uf(a,b) como a inclinação (ou coeficiente angular) da reta tangente à curva de interseção entre o gráfico de z=f(x,y) e o plano que contém o ponto (a,b) e tem direção vec u. Ele dá o “declive” da superfície nessa direção.

Resposta

A derivada direcional de f em (a,b) na direção de vec u=(m,n) é dada por
Dvec uf(a,b)=limhto0f(a+hm,,b+hn)-f(a,b)h
Interpretação como taxa de variação: essa derivada indica a variação de f por unidade de comprimento percorrido na direção de vec u. Quanto maior o valor de Dvec uf(a,b), mais rápido f cresce ao longo de vec u.
Interpretação geométrica: corresponde à inclinação da reta tangente à curva obtida pela interseção do gráfico de z=f(x,y) com o plano que passa por (a,b) e se orienta conforme vec u. Ele mostra o “declive” da superfície naquela direção.

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