Resolva em R as equações e inequações a seguir:
(a) raiz3^x-1=(raiz[5]9^x)^2.
(b) 3^x-5^x=0.
© log 3(6 x-9)=4.
(d) log x(16)=-4.
(e) log 4(x+10)+log 2(x+1)=6.
(f) log x(x+6)=2.
(g) (13)^2 x-1<3^x+2.
(h) 3^x+1+2 cdot 3^x-1 >= 11.
(i) log 5(2 x-8)>2.
(j) log 2(x-3)+log 2(x-1)<3.

Passo 1

Temos dez itens que envolvem equações e inequações exponenciais e logarítmicas em R. Vamos usar propriedades de potências e logaritmos e analisar os domínios de definição.

Passo 2

Para (a) escrevemos raiz3^x-1=(3^x-1)^1/2=3^x-12 e l(raiz[5]9^xr)^2=(9^x)^2/5=(3^2)^2x/5=3^4x5. Igualando expoentes: x-12=4x5
Resolvendo, obtemos x=-tfrac53.

Passo 3

Em (b) temos 3^x-5^x=0 então 3^x=5^x e (3/5)^x=1. Como base neq1, concluímos x=0.

Passo 4

No item ©, log3(6x-9)=4 exige 6x-9>0Rightarrow x>tfrac32. Da igualdade vem
6x-9=3^4=81
Logo x=15, que satisfaz o domínio.

Passo 5

Em (d), logx(16)=-4 pede x>0, xneq1 e
x^-4=16Rightarrow x^4=tfrac116Rightarrow x=pmtfrac12
Mantendo x>0 e xneq1, ficamos com x=tfrac12.

Passo 6

Para (e), somamos log4(x+10)+log2(x+1)=6. Passamos tudo a base 2: log4(x+10)=tfrac12log2(x+10). Assim
tfrac12log2(x+10)+log2(x+1)=6 log2(x+10)+2log2(x+1)=12 log2l((x+10)(x+1)^2r)=12 (x+10)(x+1)^2=2^12=4096
Isso leva ao polinômio x^3+12x^2+21x-4086=0, cuja única raiz real no domínio x>-1 é aproximadamente xapprox12,492.

Passo 7

No item (f), logx(x+6)=2 com domínio x>0, xneq1. Da definição,
x^2=x+6Rightarrow x^2-x-6=0Rightarrow x=3 ou x=-2
x=3 é válido.

Passo 8

Em (g) reescrevemos (tfrac13)^2x-1=3^-2x+1 e comparamos com 3^x+2. Como base >1,
-2x+1-tfrac13

Passo 9

Para (h), note que
3^x+1+2cdot3^x-1=3^x-1(3^2+2)=11,3^x-1 11,3^x-1>=11Rightarrow3^x-1>=1Rightarrow x-1>=0Rightarrow x>=1

Passo 10

Em (i), log5(2x-8)>2 pede 2x-8>0Rightarrow x>4 e
2x-8>5^2=25Rightarrow x>16,5

Passo 11

No item (j), domínio x>3 e
log2(x-3)+log2(x-1)<3Rightarrowlog2l((x-3)(x-1)r)<3 (x-3)(x-1)<8Rightarrow x^2-4x+3<8Rightarrow x^2-4x-5<0
As raízes são x=-1 e x=5, logo a desigualdade vale em -1. Juntando x>3, temos 3.

Resposta

(a) x=-5/3
(b) x=0
© x=15
(d) x=1/2
(e) x\approx12,492
(f) x=3
(g) x>-1/3
(h) x\ge1
(i) x>16,5
(j) 3<x<5

Exercícios relacionados