Use o método do intervalo fechado para encontrar os máximos e mínimos absolutos de f no intervalo dado.
f(x)=x e^{x},[0,1].

Passo 1

O enunciado pede para usar o método do intervalo fechado na função
f(x)=x e^{x}
definida em [0,1]. Isso envolve três etapas principais:
  1. Calcular a derivada f'(x) e encontrar pontos críticos internos.
  2. Avaliar f nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.
  3. Comparar esses valores para determinar o máximo e o mínimo absolutos.

Passo 2

Calculamos a derivada usando a regra do produto:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)\,e^{x}+x\,\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr) =e^{x}+x\,e^{x}=e^{x}(x+1).

Passo 3

Para encontrar pontos críticos internos resolvemos
f'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad e^{x}(x+1)=0.
Como e^{x}>0 para todo x, a única solução é x+1=0, ou seja
x=-1,
que não pertence a [0,1]. Portanto não há pontos críticos internos.

Passo 4

Ficam apenas os extremos do intervalo. Avaliamos
f(0)=0\cdot e^{0}=0,
f(1)=1\cdot e^{1}=e.

Passo 5

Comparando os valores obtidos em x=0 e x=1, concluímos que
o menor valor é f(0)=0 e o maior é f(1)=e.

Resposta

Mínimo absoluto: f(0)=0.
Máximo absoluto: f(1)=e.

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