Use o teste da integral para determinar a convergência da série
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar, via teste da integral, se a série
converge ou diverge. O conteúdo aqui é o teste da integral para séries numéricas, que diz: se existe uma função
contínua, positiva e decrescente em
tal que
, então
e
têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 2
Definimos a função
para
. Note que para
temos
, logo
. Para ver que
é decrescente basta calcular a derivada:
Assim,
satisfaz as condições do teste da integral em
.
Passo 3
Aplicamos o teste calculando o integral impróprio
Fazemos a substituição
, de modo que
. Quando
,
; quando
,
. Portanto
Ao fazer
,
, logo o integral diverge.
Passo 4
Como
pelo teste da integral a série
também diverge.
Resposta
A série diverge pelo teste da integral.