Use o teste da integral para determinar a convergência da série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar, via teste da integral, se a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\,\ln n}
converge ou diverge. O conteúdo aqui é o teste da integral para séries numéricas, que diz: se existe uma função f contínua, positiva e decrescente em [N,\infty) tal que f(n)=a_n, então \sum_{n=N}^{\infty}a_n e \int_{N}^{\infty}f(x)\,dx têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=\frac{1}{x\,\ln x},
para x\ge2. Note que para x>1 temos \ln x>0, logo f(x)>0. Para ver que f é decrescente basta calcular a derivada:
f'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(x^{-1}(\ln x)^{-1}\Bigr) =-\frac{1+\ln x}{x^{2}\,(\ln x)^{2}}<0 \quad\text{para }x\ge2.
Assim, f satisfaz as condições do teste da integral em [2,\infty).

Passo 3

Aplicamos o teste calculando o integral impróprio
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\,\ln x}.
Fazemos a substituição u=\ln x, de modo que du=\frac{dx}{x}. Quando x=2, u=\ln2; quando x=R, u=\ln R. Portanto
\int_{2}^{R}\frac{dx}{x\,\ln x} =\int_{\ln2}^{\ln R}\frac{du}{u} =\bigl[\ln|u|\bigr]_{\ln2}^{\ln R} =\ln(\ln R)-\ln(\ln2).
Ao fazer R\to\infty, \ln(\ln R)\to\infty, logo o integral diverge.

Passo 4

Como
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\,\ln x}=\infty,
pelo teste da integral a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\,\ln n}
também diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da integral.

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