Escreva as dízimas periódicas abaixo como uma série infinita:
0,131313 \ldots=

Passo 1

O enunciado pede para escrever a dízima periódica \,0,131313\ldots como série infinita. O conteúdo é a representação de decimais periódicos por meio de séries geométricas, reconhecendo que cada repetição do bloco desloca o número de casas decimais.

Passo 2

O bloco repetido é “13”, que ocupa duas casas decimais. O primeiro aparecimento vale
0,13 = 13 \cdot 10^{-2},
o segundo vale
0,0013 = 13 \cdot 10^{-4},
o terceiro vale
0,000013 = 13 \cdot 10^{-6},
e assim por diante. Note que a cada termo a potência de 10 no denominador aumenta de 2 em 2.

Passo 3

Isso forma uma série geométrica cujo primeiro termo é a = 13\cdot 10^{-2} e razão r = 10^{-2}. Portanto, a dízima pode ser escrita como
\sum_{k=1}^{\infty}13\cdot 10^{-2k}.

Resposta

0,131313\ldots \;=\;\sum_{k=1}^{\infty}\frac{13}{100^{k}}.

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