Escreva as dízimas periódicas abaixo como uma série infinita:
0, \overline{8} \ldots=

Passo 1

O enunciado pede para escrever a dízima periódica 0,\overline{8} (ou seja, 0,8888\ldots) como uma série infinita. O conteúdo aqui é reconhecer que cada algarismo “8” ocupa uma posição decimal sucessiva, gerando uma série geométrica.

Passo 2

Note que o primeiro “8” aparece na casa dos décimos, o segundo na casa dos centésimos, o terceiro na casa dos milésimos e assim por diante. Então podemos escrever cada contribuição como
\frac{8}{10},\;\frac{8}{10^2},\;\frac{8}{10^3},\;\ldots

Passo 3

Reconhecendo o padrão de série geométrica, o n-ésimo termo é
a_n = \frac{8}{10^n},
com n variando de 1 até o infinito.

Resposta

0,\overline{8} \;=\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8}{10^n}.

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