(Máximos e Mínimos com Restrição) Uma indústria química precisa construir um silo para armazenar matéria-prima. O silo deve ter a forma de um cilindro circular reto com um teto hemisférico, e seu volume total deve ser de
metros cúbicos. O custo do material por metro quadrado é de R$100,00 para a base circular, R$ 200,00 para a parede lateral do cilindro e R$300,00 para o teto hemisférico. Determine o raio
e a altura
do cilindro que minimizam o custo total de construção do silo.
Passo 1
O enunciado pede para minimizar o custo de construção de um silo composto por um cilindro de raio
e altura
, com um teto hemisférico de mesmo raio, sob a restrição de que o volume total seja
O conteúdo é otimização com restrição (usaremos redução de variáveis) e superfície de área de cilindro e hemisfério.
Passo 2
Escrevemos a restrição de volume sem o fator
:
Em seguida, montamos a função custo
. O silo tem:
– base circular de área a custo de R$
/
;
– parede lateral de área a custo de R$
/
;
– hemisfério de área a custo de R$
/
.
Logo, sem o fator :
– base circular de área
– parede lateral de área
– hemisfério de área
Logo, sem o fator
Passo 3
Isolamos
da restrição:
Passo 4
Substituímos
em
:
Passo 5
Para achar o mínimo, derivamos e igualamos a zero:
Passo 6
Logo, o raio ótimo é
Passo 7
E a altura
vem de
Resposta
O raio e a altura que minimizam o custo são aproximadamente