(Máximos e Mínimos com Restrição) Uma indústria química precisa construir um silo para armazenar matéria-prima. O silo deve ter a forma de um cilindro circular reto com um teto hemisférico, e seu volume total deve ser de 150 \pi metros cúbicos. O custo do material por metro quadrado é de R$100,00 para a base circular, R$ 200,00 para a parede lateral do cilindro e R$300,00 para o teto hemisférico. Determine o raio re a altura h do cilindro que minimizam o custo total de construção do silo.

Passo 1

O enunciado pede para minimizar o custo de construção de um silo composto por um cilindro de raio r e altura h, com um teto hemisférico de mesmo raio, sob a restrição de que o volume total seja
V = \pi r^2 h + \tfrac23\pi r^3 = 150\pi.
O conteúdo é otimização com restrição (usaremos redução de variáveis) e superfície de área de cilindro e hemisfério.

Passo 2

Escrevemos a restrição de volume sem o fator \pi:
r^2 h + \tfrac{2}{3}\,r^3 = 150.
Em seguida, montamos a função custo C. O silo tem:
– base circular de área \pi r^2 a custo de R$ 100/ m^{2};
– parede lateral de área 2\pi r h a custo de R$ 200/ m^{2};
– hemisfério de área 2\pi r^2 a custo de R$ 300/ m^{2}.
Logo, sem o fator \pi:
C = 100\,r^2 + 200\cdot 2\,r\,h + 300\cdot 2\,r^2 = 100\,r^2 + 400\,r\,h + 600\,r^2 = 700\,r^2 + 400\,r\,h.

Passo 3

Isolamos h da restrição:
r^2 h = 150 - \tfrac23\,r^3 \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{150}{r^2} - \tfrac23\,r.

Passo 4

Substituímos h em C:
C(r) = 700\,r^2 + 400\,r\Bigl(\frac{150}{r^2} - \tfrac23\,r\Bigr) = 700\,r^2 + \frac{60000}{r} - \frac{800}{3}\,r^2 = \frac{1300}{3}\,r^2 + \frac{60000}{r}.

Passo 5

Para achar o mínimo, derivamos e igualamos a zero:
C'(r) = \frac{2600}{3}\,r - \frac{60000}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{2600}{3}\,r = \frac{60000}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad r^3 = \frac{60000\cdot3}{2600} = \frac{180000}{2600} = \frac{900}{13}.

Passo 6

Logo, o raio ótimo é
r = \bigl(\tfrac{900}{13}\bigr)^{1/3}\approx 4{,}11\text{ m}.

Passo 7

E a altura h vem de
h = \frac{150}{r^2} - \tfrac23\,r \approx \frac{150}{(4{,}11)^2} - \tfrac23\cdot4{,}11 \approx 6{,}12\text{ m}.

Resposta

O raio e a altura que minimizam o custo são aproximadamente
r \approx 4{,}11\text{ m}, \quad h \approx 6{,}12\text{ m}.

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