escreva o dominio e imagom das functios:
f(x, y)=\frac{1}{x-y}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x,y)=\dfrac{1}{x-y}: 1) o domínio da função; 2) a imagem (conjunto de valores possíveis de f). Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função é dada por uma fração com denominador x-y, e estamos trabalhando com números reais (pares (x,y)\in\mathbb{R}^2). Ainda não se resolveu nada neste passo — só listei o que é pedido e quais dados temos.

Passo 2

O que é domínio? É o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais a expressão que define f faz sentido (está bem definida). Aqui a expressão é \dfrac{1}{x-y}. Para frações, o problema típico é divisão por zero: se o denominador for zero a expressão não faz sentido. Portanto devemos exigir que
x-y\neq 0.
Essa é a única restrição que vem do enunciado.

Passo 3

Escrevendo o domínio de forma matemática: todos os pares reais (x,y) tais que x\neq y. Em notação:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq y\}.
Uma interpretação geométrica rápida (útil na prova): esse conjunto é o plano \mathbb{R}^2 com a reta diagonal \{(x,x)\} removida — ou seja, todo ponto exceto aqueles em que x e y são iguais.

Passo 4

O que é imagem (ou conjunto imagem)? É o conjunto de todos os valores reais z que podem ser escritos como z=f(x,y) para algum (x,y) do domínio. Em outras palavras,
\text{Im}(f)=\{z\in\mathbb{R}\mid \exists (x,y)\in\mathbb{R}^2,\\ x\neq y,\\ \text{tal que } z=\tfrac{1}{x-y}\}.
Agora vamos achar esse conjunto passo a passo.

Passo 5

Uma forma prática de raciocinar é fazer a mudança de variável u=x-y. Então, para qualquer (x,y) do domínio temos u\in\mathbb{R}\setminus\{0\} e
f(x,y)=\frac{1}{u}.
Portanto a imagem de f é exatamente a imagem da função unidimensional u\mapsto \dfrac{1}{u} quando u varia em \mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 6

Analisemos a função g(u)=\dfrac{1}{u} com u\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. Para mostrar que qualquer número real diferente de zero é alcançado por g (e assim por f), peguemos um z\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. Queremos u tal que \dfrac{1}{u}=z. Resolver isso dá
u=\frac{1}{z},
que é bem definido porque z\neq 0. Logo existe u\in\mathbb{R}\setminus\{0\} com g(u)=z. Assim todo z\neq 0 está na imagem. Por outro lado, z=0 não pode ser imagem porque a equação \dfrac{1}{u}=0 não tem solução (não existe u com 1/u=0). Concluímos que a imagem é exatamente \mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 7

Para fixar na prática (dica para prova): se te pedirem um exemplo explícito que produz um valor z\neq 0, podes escolher, por exemplo, y=0 e x=\dfrac{1}{z}. Então x-y=\dfrac{1}{z}\neq 0 e
f\!\left(\frac{1}{z},0\right)=\frac{1}{\frac{1}{z}}=z.
Isso mostra construtivamente que qualquer z\neq 0 é atingido por f.

Resposta

\text{Domínio}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq y\}í
\text{Imagem}=\mathbb{R}\setminus\{0\}

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