escreva o dominio e imagom das functios:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
: 1) o domínio da função; 2) a imagem (conjunto de valores possíveis de
). Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função é dada por uma fração com denominador
, e estamos trabalhando com números reais (pares
). Ainda não se resolveu nada neste passo — só listei o que é pedido e quais dados temos.
Passo 2
O que é domínio? É o conjunto de todos os pares
para os quais a expressão que define
faz sentido (está bem definida). Aqui a expressão é
. Para frações, o problema típico é divisão por zero: se o denominador for zero a expressão não faz sentido. Portanto devemos exigir que
Essa é a única restrição que vem do enunciado.
Passo 3
Escrevendo o domínio de forma matemática: todos os pares reais
tais que
. Em notação:
Uma interpretação geométrica rápida (útil na prova): esse conjunto é o plano
com a reta diagonal
removida — ou seja, todo ponto exceto aqueles em que
e
são iguais.
Passo 4
O que é imagem (ou conjunto imagem)? É o conjunto de todos os valores reais
que podem ser escritos como
para algum
do domínio. Em outras palavras,
Agora vamos achar esse conjunto passo a passo.
Passo 5
Uma forma prática de raciocinar é fazer a mudança de variável
. Então, para qualquer
do domínio temos
e
Portanto a imagem de
é exatamente a imagem da função unidimensional
quando
varia em
.
Passo 6
Analisemos a função
com
. Para mostrar que qualquer número real diferente de zero é alcançado por
(e assim por
), peguemos um
. Queremos
tal que
. Resolver isso dá
que é bem definido porque
. Logo existe
com
. Assim todo
está na imagem. Por outro lado,
não pode ser imagem porque a equação
não tem solução (não existe
com
). Concluímos que a imagem é exatamente
.
Passo 7
Para fixar na prática (dica para prova): se te pedirem um exemplo explícito que produz um valor
, podes escolher, por exemplo,
e
. Então
e
Isso mostra construtivamente que qualquer
é atingido por
.